Нахождение интегралов с помощью вычетов bJJ
.pdf
Нахождение вычетов в особых точках. Нахождение интегралов с помощью вычетов.
|
Особые точки |
|
|
|
Алгоритм |
Устранимые |
Существенно особые |
Полюсы |
|
1. |
Определить точки, в |
|
которых функция |
||||
|
|
|
|
неаналитична. |
|
|
|
Простые |
n-ого порядка |
2. Определить входят ли |
|
|
|
|
|
точки в заданную область. |
|
|
|
|
|
3. Определить характер точек. |
|
|
|
|
|
4. |
Вычислить вычеты в |
|
|
|
|
этих точках. |
|
|
|
|
|
5. |
Посчитать интеграл. |
Как определить характер особой точки?
|
Устранимая особая точка |
|
Z сокращается в числители |
Дробь и знаменателе в ходе |
|
|
преобразований. |
Ряд |
Не содержит членов с |
Лорана |
отрицательными степенями. |
Предел |
lim f(z) = const |
Полюс порядка n |
Существенно особая точка |
Обращает в нуль |
— |
знаменатель. |
|
Содержит конечное число |
Содержит бесконечное число |
членов с отрицательными |
членов с отрицательными |
степенями. |
степенями. |
lim f(z) = |
Предела не существует. |
Как определить порядок полюса k?
1. По виду дроби.
а) Если при z = z , знаменатель обращается в нуль, а числитель не обращается в нуль — z - полюс k-ого порядка,
где k — степень (z-z ) .
б) Если при z = z , знаменатель и числитель обращаются в нуль:
Если представить функцию в виде f(z) = |
, где n и k — степени z в |
и |
соответственно, то |
•Если n > k — z — УОТ
•Если n < k — z — полюс (k-n)-ого порядка
2.По ряду Лорана
Номер старшего члена главной части ряда Лорана называется порядком полюса. (Степень в знаменателе)
3. С помощью производных (самый надежный метод)
Найти номера производных числителя и знаменателя, для которых при z = z , значения производных не равны нулю. Сравнить номера этих производных для числителя и знаменателя.
•Если номер производной числителя больше номера знаменателя — z — УОТ
•Если номер знаменателя больше номера числителя — z — полюс (k-n)-ого порядка
(k - номер производной знаменателя, n - номер производной числителя).
Как вычислить вычет?
Устранимая особая точка |
Полюс |
Существенно особая точка |
а) Простой полюс
res f(z) = lim (f(z)(z - z ))
res f(z) =
res f(z) = C
res f(z) = 0
где С = const
б) Полюс порядка n
res f(z ) = |
lim |
(f(z)(z-z ) ) |
Вычисление интегралов с помощью вычетов
Справочные материалы
