Билеты Математика ИТАЭ 2 семестр ЧАСТЬ 1

Теоретические вопросы по математике

1. Определенный интеграл и его геометрический смысл. Свойства определенного интеграла.

Разобьем отрезок [a,b] на n равных частей. Обозначим

Рассмотрим ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников с основанием и высоты , тогда площадь этой ступенчатой фигуры:

При получим:

где a — нижний предел интегрирования b — верхний предел интегрирования.

Геометрический смысл определенного интеграла:

Если x [a,b] f(x) 0, то

2. Интеграл с переменным верхним пределом. Производная по верхнему пределу (доказательство)

Интегралом с переменным верхним основание называется интеграл вида:

Теорема (о производной интеграла по переменному верхнему прделу)

Если подынтегральная функция непрерына на [a,b], то производная определенного интеграла с переменным верхним пределом существует и равна значению подынтегральной функции для этого предела, то есть:

Ф (x) = f(x)

lim = lim f ( ) = lim f (x+ x) = f (x) = Ф (x)

Ф (x) = f (x)

Следствие Определенный интеграл с переменным верхним пределом является одним из

первообразных для непрерывной подынтегральной функции. То есть, для любой непрерывной функции на некотором промежутке существует первообразная.

3. Формула Ньютона-Лейбница (доказательство)

Теорема Определенный интеграл от непрерывной функции равна разности значений любой

ее первообразной для верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Доказательство

Ф (x) = f (t)dt

x [a,b] , f (t) — непрерывна на [a,b] Ф (x) = f (x)

Пусть F (x) — пеорвообразная для f (x), т. е. F (x) = f (x), тогда Ф(x) = F (x) + C Ф (a) = 0, тогда 0 = F (a) + C C = - F (a)

Ф(x) = F (x) - F (a), f (t)dt = F(x) - F(a)

Ф(b) = f(t)dt = F(b) - F(a)

Формула Ньютона-Лейбница:

f(x)dx = F(b) - F(a)

f(x)dx = F(x) = F(b) - F(a)

4. Замена переменной (доказательство теоремы) и интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема 1 Если выполнены условия:

[ , ] и имеющей на нем непрерывную производную.

3.( ) = 0, ( ) = b, тогда

f(x)dx = f( (t)) (t)dt

Доказательство

Пусть F(x) — первообразная для f(x) на [a,b], F (x) = f(x) x [a,b], то

f(x)dx = F(b) - F(a)

Теорема 2

Если u =u(x), v =v(x) имеют непреравные производные на [a,b], то

5. Несобственный интеграл с бесконечными пределами. Теоремы сравнения (формулировка).

Если хотя бы один из пределов интегрирования a, b не является конечным или подынтегральная функция f(x) ограничена на [a, b], то интеграл называется несобственным.

Интегралы с бесконечными пределами называются несобственными интегралами первого рода.

Если предел не существует или равен бесконечности, то несобственный

Теорема 2

Пусть f(x) и g(x) — непрерывны и положительны на [a, + ) и пусть существует конечный предел:

6. Двойной интеграл и его геометрический смысл. Свойства двойного интеграла.

Область Д — область, которая является ортогональной проекцией поверхности z=f(x,y), называется основанием цилиндрического тела.

Двойным интегралом от функции f(x,y) по области Д называется предел ее интегральной суммы, который не зависит от способа разбиения область Д и выбора точек М при d -> 0 и обозначается:

f(x,y) d = lim f(M )

Свойства двойного интеграла:

Теорема о среднем

Если f(x,y) непрерывна в Д, существует хотя бы одна точка р Д, что

7. Замена переменной в двойном интеграле. Якобиан. Двойной интеграл в полярных координатах.

Каждой точке М (x,y) D ставят в соответствие единственную точку М (u,v) D. Числа u и v называются криволинейными координатами точки М.

Якобиан — функциональный определитель, составленный из частных производных первого порядка.

Переход в двойном интеграле к полярным координатам.

Якобиан данного преобразования:

cos sin sin cos

8=11. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах. Вывод Якобиана.

f(x,y,z) dxdydz = f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|I| dxdydz

— Якобиан преобразования

V = |I| V

Цилиндрические координаты:

f(x,y,z) dxdydz = f( cos , sin ,z) d d dz

Сферические координаты:

f(x,y,z) dxdydz = f(rcos sin ,rsin sin ,zcos )r sin d drd

9=12. Поверхностный интеграл первого рода, его свойства.

Пусть функция f(x,y,z) непрерывна на гладкой поверхности S.

Разобьем поверхность S сетью линий на n участков, площадью S . На каждом из участков произвольно выберем точку М (x , y , z ).

Если существует предел интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения S и выбора точек М , то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(x,y,z) по поверхности S:

f(x,y,z) dS = lim f(M ) S

Свойства поверхностного интеграла первого рода:

Теорема о среднем

Если f(x,y) непрерывна в S, существует хотя бы одна точка р S, что