Билеты Математика ИТАЭ 2 семестр ЧАСТЬ 2

21. Понятие функции нескольких пременных. Определение частных производных.

Если каждой паре (x, y) значений двух переменных x, y из некоторого множества D соответствует одно определнное значение переменной z, то говорят, что z — функция двух переменных x, y, определенная в области D.

Множество D называется областью определения функции z.

z = f(x, y)

Частной производной функции нескольких переменных в точке М по переменной x называется предел отношения частного приращения по x функции к

x , когда x -> 0 и обозначается:

Частные производные функции f(x,y) выражают скорость изменения функции в данном направлении.

22. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Полный дифференциал.

Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой окрестности точки М (x , y ).

Функция z=f(x,y) называется дифференцируемой в точке М , если ее полное приращение z можно представить в виде:

Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости)

Если f(x,y) дифференцируема в точке М (x , y ), то она непрерывна в этой

точке.

Теорема 2 (необходимое условие дифференцируемости)

Если f(x,y) — дифференцируема в точке М (x , y ), то она имеет частные производные в этой точке.

Теорема 3 (достаточное условие дифференцируемости)

Если z = f(x,y) имеет частные производные в точке (x , y ), непрерывные в этой точке, то она дифференцируема в этой точке.

23. Производная по направлению и градиент скалярного поля.

Пусть задана функция переменных u=u(x,y,z), определенная и дифференцируемая в некоторой окрестности точки М (x , y , z ).

Если существует предел:

где — углы, которые образует вектор l с координатными осями.

при l -> 0, то он называется производной функции u=f(x,y,z) в точке М по направлению l и обозначается:

Производная функции по направлению не зависит от длины вектора l, а зависит только от направления этого вектора.

24. Экстремум функции двух переменных. Необходимое условие. Достаточное условие экстремума.

Пусть z=f(x,y) определена в некоторой окрестности точки М (x , y ). Точка М называется точкой локального максимума (минимума), если

существует окрестность этой точки, в которой (x, y) f(x ,y ) > f(x, y) (f(x , y ) < f(x, y)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции, а f(M )

— экстремумом функции.

Теорема 1 (необходимое условие экстремума)

Если в точке М (x , y ) функция z=f(x,y) имеет экстремум, то ее частные производные в точке М равны 0 или не существуют.

Теорема 2 (достаточное условие экстремума)

Пусть функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно в некоторой окрестности точки М . Если в точке М частные производные равны 0, то точка М является точкой экстремума.

25. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Решение дифференциального уравнения. Общее и частное решение. Формулировка теоремы о существовании и единственностирешения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка.

Уравнение называется дифференциальным, если неизвестная функция входит под знак производной или дифференциала.

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одной переменной.

Обыкновенное дифференциальное уравнение:

Функция y= (x), определенная и непрерывно дифференцируемая n-раз на промежутке (a,b) называется решением дифференциального уравнения на интервале (a,b), если она обращает указанное равенство в тождество, т. е.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение y= (x) какой-либо конкретной задачи Коши.

Общим решением дифференциального уравнения в области D называется функция y=Ф(x, C), зависящая от постоянной С.

Теорема Коши (существование и единственность решения)

Пусть y =f(x,y), y(x )=y и f(x,y), f (x,y) непрерывны в области D. Тогда какова бы не была начальная точка (x , y ) D, существует интервал (x -h, x +h) такой, что задача Коши с начальной точкой (x , y ) имеет решение y=y(x) на этом интервале и оно единственно.

26. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения n-ого порядка. Структура общего решения (одна теорема с доказательством).

Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка:

L[y] = y +p (x)y +…+p y =f(x)

Если f(x) 0, то уравнение называется линейным однородным уравнением. Если f(x) 0, то уравнение называется линейным неоднородным уравнением.

Теорема (решение линейного однородного дифференциального уравнения) Если y (x), y (x), …, y (x) — линейно независимая система решений

уравнения L[y]=0, то общее решение этого уравнения есть линейная комбинация решений, составляющих ФСР, т. е.

Теорема 1 (решение линейного неоднородного дифференциального уравнения) Если y — решение уравнения L[y]=0, y — решение уравнения L[y]=f(x), то

функция y + y является решением уравнения L[y]=f(x).

Доказательство:

—по условию

—решение

Теорема 2

Если y — частное решение уравнения L[y] =f(x) с непрерывными коэффициентами p (x), …, p (x), а y — общее решение данного неоднородного уравнения:

28. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Теорема о структуре решения. Метод подбора частного решения.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение:

где