Комплексные и гиперкомплексные числа

§ 3. Тригонометрическая и показательная формы записи

	комплексного числа
Если	записать комплексное число x iy с			помощью
введённых выше величин		и , получим:
x iy = cos i sin = (cos i sin ).
Выражение		z (cos i sin )		называется
тригонометрической формой комплексного числа,					- его
аргументом,	- модулем. Понятие модуля не противоречит
известному	понятию,	применявшемуся	раньше		для

отрицательных чисел: и там, и здесь модуль - есть расстояние по кратчайшей линии до начала координат.

Для любой точки x iy модуль вычисляется как				x2		y2 .
Для вычисления аргумента верна формула arctg				y
						если
			x
	y
точка в 4-й и 1-й четверти, либо arctg		, если во 2-й и
	x

11

3-й четверти. Это связано с тем, что период тангенса равен ,

график этой функции непрерывен на интервале от				до		.
2				2
Примечание. Угол может определяться разными
способами, так, например, вместо угла	3			во всех
4

вычислениях для комплексных чисел в тригонометрической

форме можно использовать 5 , и это не будет ошибкой,

4

так как тригонометрические функции повторяются через промежуток 2 .

Показательная форма комплексного числа.

Известна	формула	Эйлера ei cos isin ,	таким
образом, выражение		z (cos i sin ) может	быть
записано в виде	z ei .

Так, например, мнимой единице соответствует аргумент и

2

модуль 1, поэтому запись в тригонометрической и показательной формах такова:

							i
i 1 cos				isin		и	i 1e 2 .
		2			2

Пример. Запишите число z 3 3i в тригонометрической и

показательной формах.

12

В таких задачах желательно выполнять чертёж. Если без чертежа пытаться в уме определить, в какой четверти расположена точка, это, как правило, приводит к ложным результатам. Здесь первая координата x положительна, вторая

координата y отрицательна, то есть от начала координат к

данной точке нужно двигаться вправо и вниз, т.е. точка

расположена в четвёртой четверти.

Вычислим

модуль

и аргумент

данного

числа.

32 ( 3)2

3

.

9 9

2

y

3

arctg 1

arctg

arctg

. Впрочем,

также

4

x

3

будет верно принять 7 , что отличается на полный оборот

4

2 .

Тригонометрическая форма:

(cos isin )= 3 2 cos 4 isin 4 .

i

Показательная форма: z ei = 3 2e 4 .

13

§ 4. Умножение и деление в тригонометрической и

показательной форме

Умножение, и особенно деление комплексных чисел чаще всего бывает легче выполнять в тригонометрической форме, чем в алгебраической, так как для деления не нужно домножать на сопряжённое в знаменателе.

z1z2 = 1 2 (cos( 1 2 ) isin( 1 2 ))

Доказательство формулы :

z1z2 = 1(cos 1 i sin 1) 2 (cos 2 i sin 2 ) =

1 2 (cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 icos 1 sin 2 isin 1 cos 2 )=

1 2 (cos( 1 2 ) isin( 1 2 ))

Здесь были использованы известные тригонометрические

формулы косинуса суммы и синуса суммы.

Таким образом, для умножения двух комплексных

чисел, представленных в тригонометрической форме,

достаточно просто умножить их модули и сложить

аргументы.

Формула деления двух комплексных чисел в тригонометрической

форме:

z1 = 1 (cos( 1 2 ) isin( 1 2 )).

z2 2

Для деления двух комплексных чисел,

представленных в тригонометрической форме, нужно

поделить их модули и вычесть аргументы.

14

Однако ещё проще умножать и делить числа в показательной форме.

z z	2		ei 1	2	ei 2			2	ei( 2 1)	и
1		1				1

z1 1 ei 1 e i 2 1 ei( 2 1)

z2 2

2

так как при умножении показательных функций, их степени складываются, а при делении вычитаются.

Пример. Разделить 2 2i тремя способами:

1 i

1)с помощью умножения на сопряжённое число.

2)в тригонометрической форме.

3)в показательной форме.

1)

2 2i

=

( 2 2i)(1 i)

=

4i

2i .

1 i

(1 i)(1 i)

2

2)

Заранее

находим модуль

и

аргумент

каждого

числа

и

представляем их в тригонометрической форме.

3

3

2 2i 2

2

cos

isin

, 1 i

2 cos

isin

4

4

4

4

Тогда деление имеет вид:

2

3

3

2

isin

cos

isin

= 2 cos

=

2i

4

4

4

2

2

2

4

i3

2 ei 3 4 4

3)

2 2i

=

2 2 e 4

=

=

2 e i2

=

1 i

i

2e

4

2 cos

isin

= 2i

2

2

15

§ 5. Степень и корень. Формула Муавра.

Формула извлечения корня

Если в предыдущем параграфе мы умножали бы в тригонометрической форме не два разных числа, а одно и то же

число z (cos( ) isin( )), то получилось бы:
(cos( ) isin( )),	то	есть
z2 2 (cos(2 ) isin(2 )).

Таким же образом можно умножить z в третий раз и снова в аргументе прибавится , а модуль снова умножится на .

Таким образом, по индукции доказывается, что

zn n (cos(n ) isin(n ))

Эта формула называется формулой Муавра и позволяет не перемножать множество скобок, если требуется вычислить большую степень числа, а вычислить её по формуле.

Иснова можно сказать, что ещё легче возводить в степень

спомощью показательной формы числа:

																			zn ei n nein
													1								1					20
Пример. Найти																								i .
													2								2
Вычислим модуль и аргумент.
		1					2						1 2
																									1				1
																															1
																							2						2
			2											2
					1
								2
arctg													arctg1															.
					1
																										4
								2

16

Таким	образом,
соответствующая		точка
расположена	в	первой
четверти на	пересечении
биссектрисы	угла	и
единичной окружности.

20

По формуле Муавра, 1

cos

20

isin

20

=

4

4

1 cos5 isin5 но мы всегда при вычислении синуса и

косинуса можем отбрасывать углы, кратные 2 ,

то есть

2 ,4 ,6 ,... поэтому получаем 1 cos isin

= 1 0i 1.

В показательной форме:

i

4 20

= 1

20

e

20i 4

=

1 e

5i

=

1 e

cos5 isin5 = cos isin 1 .

Пример. Найдите все значения корня 3

.

8i

Сначала представим комплексное число,

которое находится

под знаком корня, в тригонометрической форме. Точка расположена на мнимой оси выше начала координат, поэтому

	аргумент												,	модуль										8i			8.
										2
		Теперь находим все 3 корня.
											2 k										2 k
								2											2
		3	8	cos											isin													при k = 0,1,2.
										3										3
						2														2
	2 cos									k				isin								k			, отсюда:
			6			3									6					3

17

	z
																			3 i
1)				= 2 cos						isin						=
	1						6					6
	z				5								5
																					3 i
2)		2		= 2 cos						isin							=
						6									6
	z				9										9
3)			3	= 2 cos								isin						=	2i
					6										6

Чертёж:

Пример. Найти все значения 41.

Решение. Исходное число 1 может быть записано в виде

1 cos0 isin 0 . Таким образом,

2 k

2 k

k

k

4

1 cos

isin

= 1 cos

isin

4

4

2

2

Получаем следующие значения при k 0,1,2,3:

1)	1 cos0 isin0 1
2)	1 cos			isin				i
		2
					2
3)	1 cos isin 1
			3		isin		3			i
4)	1 cos
		2						2

18

§ 6. Логарифм комплексного числа.

Задачи на вычисление логарифма

Формула для вычисления логарифма произвольного

комплексного числа: Ln(z) ln i 2 k .
Докажем эту формулу:	z ei 2 k
eLn(z) eln i 2 k
z cos 2 k isin 2 k ,			что означает
z cos isin так	как	синус	и косинус не
зависят от прибавления угла, кратного 2		. А это равенство уже

очевидно, так как это и есть тригонометрическая форма комплексного числа.

Из формулы видно, что только при нулевом аргументе исходного числа одно из значений логарифма попадает на действительную ось. А это соответствует правой полуоси, и

именно поэтому в курсе школьной математики рассматривали только логарифмы положительных чисел. Логарифмы отрицательных и мнимых чисел также существуют, но у них нет ни одного значения на действительной оси.

На следующем чертеже показано, где в плоскости расположены все значения логарифма положительного числа.

Одно из них на действительной оси, остальные выше и ниже на

2 , 4 , 6 и так далее. Для отрицательного или комплексного числа, аргумент отличен от нуля, поэтому происходит сдвиг этой последовательности точек по вертикали, в результате чего на действительной оси не будет ни одной точки.

19

Пример. Вычислить Ln( 1).

По формуле, Ln(z) ln i 2 k ,таким образом

Ln( 1) ln1 i 2 k = 0 i 2 k

Пример. Вычислить Ln(i).

По формуле, Ln(z) ln i 2 k ,таким образом

	Ln(i) ln1 i		2 k	= 0 i		2 k
		2			2

Существуют и обратные задачи на вычисление z, если дан Ln(z):

Пример. По	данному	значению Ln z	запишите z	в
алгебраической	форме в	виде a bi	(нулевые значения

опускайте). Ln z ln 52 arctg 23 2m i .

Поскольку значение логарифма уже дано, то для того, чтобы найти z , нужно найти экспоненту от данного выражения по формуле Эйлера ei cos isin .

ln 52 arctg2 2m i ln 52 arctg2 2m i

e 3 =e e 3 =

arctg2 2m i

52 e 3 =

52 cos arctg23 2m isin arctg23 2m

20