Электричество и магнетизм

D

Так как E , то теорема Остроградского – Гаусса для вектора

0

D запишется

D dS qi.

S

Отсюда становится ясным смысл введения вектора D.

Поток вектора электрического смещения D через любую замкнутую поверхность определяется только свободными зарядами, а не всеми зарядами внутри объёма, ограниченного данной

D поверхностью.

Это позволяет не рассматривать связанные (поляризационные) заряды, влияющие на

величину вектора напряжённости E, что упро-

n	щает решение многих задач.
	Изменение векторов E и D на границе раз-
S	дела двух диэлектриков

Рассмотрим поведение векторов E и D на границе раздела двух бесконечно протяжённых однородных изотропных диэлектриков. Пусть на границе раздела диэлектриков находится сторонний поверхностный заряд. Искомые условия можно получить с помощью двух теорем: теоремы о циркуляции вектора E и теоремы Остроградского – Гаусса для вектора D

E dl 0; D dS qсв.

l S

Условие для вектора E

E1 E2 .

Таким образом, тангенциальная составляющая вектора E оказывается одинаковой по обе стороны границы раздела, т.е. не претерпевает скачка.

Условие для вектора D

D1n D2n.

В этом случае нормальная составляющая вектора D скачка не испытывает, она оказывается одинаковой по разные стороны граница раздела.

Таким образом, если на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков нет сторонних зарядов, то при переходе этой границы, составляющие E и Dn, изменяются непрерывно, без скачка. А En и D претерпевают скачок.

31

	Пусть 2 > 1. На границе раздела возникают поляризационные заря-
ды с поверхностной плотностью 1 и 2. Дополнительное электрическое
	– 1	+ 2	поле, создаваемое			этими	зарядами (E'),
			перпендикулярно		поверхности					раздела.
1
		2	Поэтому нормальные составляющие на-
E 1	E1	E 2	пряжённости	электрического					поля будут
		E2	изменяться, а тангенциальные – нет
1 En1		2	En1 2 ;			E 1 E 2.
		En2	En2	1				En2 .
			tg En1 ; tg
			1	E			2		E	2
				1

E'

E1

1 < 2

Dn2

		tg 1		En1		2	.
				En2
		tg 2				1
	Следовательно, будет происходить изме-
	нение направления вектора E при переходе из
E2	одной диэлектрической среды в другую.
	Рассмотрим теперь,			как будет вести себя

вектор электрической индукции на границе раздела двух диэлектриков.

Мы знаем

D1 1 0 E1, D2 2 0 E2.

Соответственно для проекций запишем

Dn1 1 0 En1, D1 1 0 E 1.

2 0 En2, D 2 2 0 E 2. 2 > 1.

– 1

+ 2

Таким образом, еще раз показа-

1

2

ли, что нормальная составляющая

D 1

D1

D 2

вектора не изменяется при переходе

2

из одной диэлектрической среды в

D2

другую

D 1

1

D

D

.

.

Dn1

Dn2

n1

n2

D 2

2

1

Dn1

Dn2

tg

, tg

1

D

2

D

1

D 2

2

tg 1

2

E'

.

tg 2

D 1

1

32

D1

1 < 2

	Тангенциальная составляющая вектора D из-
	меняется в нашем случае (при 2 > 1) D 1 > D 2.
D2	Вектор D преломляется в ту же сторону и под тем
	же углом, что и вектор E

ФD Dn dS.

S

Так как Dn1 = Dn2 , то теорема Остроградского – Гаусса справедлива при наличии границы раздела двух диэлектриков любой формы.

Проводники в электростатическом поле

Распределение электрических зарядов на проводнике

В проводниках имеются электрически заряженные частицы – носители заряда (электроны в металлах и ионы в электролитах), способные перемещаться по всему объёму проводника под действием внешнего электрического поля.

Носителями зарядов в металлах являются электроны проводимости. При отсутствии электрического поля металлический проводник является электрически нейтральным. Электрическое поле, создаваемое по-

E0

ложительными

и отрицательными

зарядами,

взаимно

компенсируют

друг друга. При внесении металли-

ческого

проводника во

внешнее

электрическое

поле

электроны

E'

проводимости перемещаются (пе-

рераспределяются)

до

тех пор,

пока

всюду

внутри

проводника

E=0

электрическое

поле

электронов

проводимости

и

положительных

ионов

не скомпенсирует

внешнее

электрическое поле.

Таким образом, в любой точке внутри проводника, находящегося в

электростатическом поле, E = 0.

На поверхности проводника вектор E должен быть направлен по

нормали к этой поверхности, иначе под действием составляющей E , касательной к поверхности металла, заряды перемещались бы по проводнику. А это противоречило бы их статическому распределению.

В установившемся состоянии:

33

1) во всех точках внутри проводника напряжённость электростатического поля равна нулю (E = 0), а во всех точках поверхности

E= En (E = 0);

2)весь объём проводника, находящийся в электростатическом поле,

эквипотенциален. Действительно в любой точке внутри проводника имеем

d E 0, const. dl

Поверхность проводника тоже эквипотенциальна. Для любой линии на поверхности проводника можно записать

d E 0, пов const. dl

3) в заряженном проводнике не скомпенсированные заряды располагаются только на поверхности проводника. Их расталкивают кулоновские силы отталкивания.

Напряжённость поля вблизи поверхности заряженного проводника

En Dn .0 0

Напряжённость поля вблизи поверхности заряженного проводника прямо пропорциональна поверхностной плотности зарядов σ.

Электроёмкость

Сообщённый проводнику заряд распределяется по его поверхности так, чтобы напряжённость поля внутри проводника была равна нулю. Такое распределение заряда является единственно возможным. Если проводнику, уже несущему заряд q, сообщить ещё заряд, то второй заряд должен распределиться по проводнику точно таким же образом, как и первый заряд, т.е. чтобы внутри проводника E = 0. Всё это справедливо для уединённого проводника. Если вблизи находятся другие тела, то появляются индуцированные заряды, и они могут исказить идеальную картину.

Итак, различные по величине заряды распределяются на уединённом проводнике подобным образом (отношение плотностей заряда в двух произвольных точках поверхности проводника при любом заряде будет одним и тем же).

Отсюда вытекает, что потенциал уединённого проводника пропорционален находящемуся на нём заряду

q C .

34

Коэффициент пропорциональности между потенциалом и зарядом называется электроёмкостью

C q.

Ёмкость численно равна заряду, сообщение которого проводнику вызывает повышение его потенциала на единицу

1Ф 1Кл.

1В

В системе СИ ёмкость измеряется в фарадах (большая величина).

Ёмкость уединенного шара.

C 4 0 R.

Ёмкостью 1 Ф обладал бы уединенный шар радиуса 9 109 м (для сравнения радиус Земли равен 6,378 106 м).

Конденсаторы

Уединённые проводники обладают небольшой электроёмкостью. Вместе с тем необходимы устройства, которые бы при небольших размерах «конденсировали» бы большое количество заряда. В устройствах, называемых конденсаторами, положен тот факт, что, ёмкость проводника возрастает при приближении к нему других тел. Индуцированные заряды одного тела подтягивают к себе заряды другого тела. И потенциал проводника уменьшается.

Конденсатор – это два проводника, расположенных близко друг от друга. Эти проводники называются обкладками. Чтобы внешние тела не оказывали влияние на ёмкость конденсаторов, обкладкам придают такую форму и так располагают друг относительно друга, чтобы поле, создаваемое зарядом конденсатора, было сосредоточено внутри конденсатора. Этому условию удовлетворяют две пластины, два коаксиальных (имеющих одну ось) цилиндра, две концентрические сферы (имеющие общий центр).

Соответственно бывают плоские, цилиндрические и сферические конденсаторы. Так же как электрическое поле заключено внутри конденсатора, то и линии электрического смещения начинаются на положи-

35

тельной обкладке и заканчиваются на отрицательной обкладке, никуда не исчезая. Следовательно, заряды на обкладках противоположны по знаку и одинаковы по величине.

Ёмкость конденсатора будет равна

	S	q		q
	C				,
		1 2
			U

U – напряжение между обкладками.

Ёмкости плоского конденсатора

d

C q 0 S .

U d

Помимо ёмкости каждый конденсатор характеризуется рабочим напряжением Uраб или для высоковольтных конденсаторов – пробивным напряжением Uпр (максимально допустимое напряжение).

Соединение конденсаторов

C1

При параллельном соединении общим (одинаковым) является напряжение U.

При параллельном соединении суммарная ёмкость равна

C2

N

C Ci.

U

i 1

При последовательном соединении конден-

U

саторов крайние обкладки батареи конденсато-

ров зарядятся разноимёнными зарядами q.

U1

U2

Вследствие электростатической индукции на

всех промежуточных пластинах наведутся заря-

ды, также численно равные q. Следовательно,

q

q

одинаковым для конденсатора является заряд q.

C1

C2

При последовательном соединении конден-

саторов общая ёмкость рассчитывается по фор-

муле

1	N
		1	.
C		C
	i 1 i

Если необходимо увеличить ёмкость, то конденсаторы собирают в батарею параллельно. Если необходимо повысить рабочее напряжение конденсаторы собирают в батарею последовательно, но при этом ёмкость уменьшается.

36

Энергия заряженного проводника

Заряд q, находящийся на некотором проводнике, можно рассматривать как систему точечных зарядов qi. Ранее мы получили выражение для энергии взаимодействия системы зарядов

WП 1 N i qi. 2 i 1

здесь i – потенциал, создаваемый всеми зарядами, кроме qi в той точке, где помещается заряд qi.

Поверхность проводника является эквипотенциальной. Поэтому потенциалы тех точек, в которых находятся точечные заряды qi, одинаковы и равны потенциалу проводника. Воспользовавшись предыдущим выражением, получим выражение для энергии заряженного проводника

1 1 1

WП 2 qi 2 qi 2 q.

Энергия заряженного конденсатора

W C U2 . 2

Энергию конденсатора можно переписать в другой форме

W	1	C U	2		q2		1	q U.
	2				2C		2

Энергия электрического поля.

Возникает вопрос. Где сосредоточена энергия конденсатора? На обкладках, т.е. на зарядах? А может быть она сосредоточена в пространстве между обкладками, т.е. в электрическом поле? Только опыт может дать ответ на этот вопрос.

В пределах электростатики дать ответ на этот вопрос невозможно. Заряды и поля, которые они создают, не могут существовать обособленно. Их нельзя разделить. Однако переменные поля могут существовать независимо от возбуждающих их зарядов (например, излучение Солнца, радиоволны) и они переносят энергию. Эти факты заставляют признать, что носителем энергии является поле. Рассмотрим энергию в плоском конденсаторе

W

C U2

0

S U2

d

0

U 2

S d

0

E

2

V ;

2

2 d

d

2

2

d

U E, S d V. d

37

Если поле однородно, то заключенная в нём энергия распределяется в пространстве с постоянной объёмной плотностью энергии W* = W/V.

Эта формула справедлива и для неоднородного поля, где напряжённость поля E – значение напряжённости поля в данной точке

W* E D,

2

так как D = 0 E, то можно записать.

W* 0 E2 . 2

2.2.Примеры решения задач

1.Сплошной диэлектрический шар (ε = 3) радиусом R = 5 см заряжен равномерно с объемной плотностью заряда ρ = 10 нКл/м3. Опреде-

лить энергию электростатического поля, заключенную внутри шара

dW wdV ,

где объемная плотность энергии w 0E2 ; E – напряженность электри- 2

ческого поля

E D ,

0

D – электрическая индукция.

Элементарный объем dV 4 r2dr.

Поток вектора D:		D dS				dV ,					D 4 r2			4		r3.
		n											3
	S		V
Тогда объемная плотность энергии будет равна
		w				D2					2r2
												.
				2 0
										18 0
В итоге энергия внутри шара:
R					24				R				2 2 r5					R		2 2
W w dr w 4 r2dr									r4dr													R
													9				5			45
0				18				0		0					0			0			0

23,14 10 10 9 2

45 3 8,85 10 12 0,05 5 0,164 пДж.

38

2. В однородное электростатическое поле напряженностью Е0 = 700 В/м перпендикулярно полю поместили стеклянную пластинку (ε = 7) толщиной d = 1,5 мм и площадью S = 200 см2.

Определить: 1) поверхностную плотность связанных зарядов σ’ на стекле; 2) энергию электростатического поля, сосредоточенную в стеклянной пластине.

Напряженность поля в стекле: E E0 , а электрическая индукция

D 0E, D 0E P, где Р – вектор поляризации, нормальная которого равна поверхностной плотности связанных зарядов

	P 0	1 E	0 1 E0		7 7 1 700	5,31 нКл/м2.
					7
	Энергия

W 0E2 S d 0E02 S d

2 2

8,85 10 12 700 2 200 10 4 1,5 10 3 9,29 пДж. 2 7

3. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено диэлектриком (ε = 7). Площадь пластин конденсатора S = 50 см2. Определить поверхностную плотность связанных зарядов σ’ на поверхности диэлектрика, пластины конденсатора притягивают друг друга с силой

F = 1 мН.

Заряд на пластинах конденсатора q S . Модуль силы притяжения

пластин

F

q

2

2S

. Отсюда

2

0

F

. Напряженность поля

2 0S

2 0

S

между пластинами конденсатора E

2F

. Тогда поверхностная

0

0S

плотность связанных зарядов на диэлектрике равна

0 1 E 1

2 0F

S

7 1

2 1 10 3 8,85 10 12

4,27 мкКл/м2.

7 50 10 4

4. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора S = 1 м2, а расстояние между ними d = 1,5 мм. Найти емкость конденсатора.

39

Емкость плоского конденсатора определяется соотношением C 0S /d . Для воздуха ε = 1.

Подставив числовые значения получим:

C 1 8,85 10 12 1 5,9нФ. 1,5 10 3

5.Площадь пластин плоского воздушного конденсатора S = 0,01 м2,

арасстояние между ними d = 5 мм. К пластинам приложена разность потенциалов U1 = 300 В. После отключения конденсатора от источника напряжения пространство между пластинами, заполняют диэлектриком (ε = 2,5). Какова будет разность потенциалов U2 между пластинами после заполнения диэлектриком? Найти емкости конденсатора С1 и С2 и поверхностные плотности заряда σ1 и σ2 на пластинах до и после заполнения.

Так как заполнение диэлектриком происходит после отключения от источника напряжения, то заряд на пластинах сохраняется q = const.

	Поверхностная плотность заряда на пластинах σ						= q/S = const.
E			U	, то после заполнения имеем	d U	0	и d U	2		0	.
	0		d		1

Приравнивая правые части имеем

U1 1 U2 2,

откуда U2		U1 1			300 1					120 В.
		2			2,5
До и после заполнения конденсатора имеем
							0	S				1 8,85 10 12		0,01
		C				1									17,7пФ.
						d							5 10 3
	1
		C		2 0S								2,5 8,85 10 12 0,01				44,25пФ
	2					d							5 10 3

Поверхностная плотность заряда

q C1U1 17,7 10 12 300 531 нКл/м2.

S

S

0,01

40