Теория и практика оптимального расчета магнитных элементов

50

В целом получается (запомнить!) для синусоид:

u	эф	=	um	;	u	ср	=	uэф	.	(2.6.2.2)
		2					1,11

2.6.3 Схема замещения трансформатора, ее параметры и величины

Схема замещения трансформаторов напряжения и тока одинакова. Она показана на рис. 2.6.3.1. Все параметры и величины этой схемы электрические. Предназначена электрическая схема замещения трансформатора для расчета его статических и динамических характеристик (см. ниже) и расчета электротехнических цепей с учетом параметров трансформатора. Составляется схема для конкретной вторичной обмотки (у каждой из них свой коэффициент трансформации) и для одной фазы, если трансформатор многофазный.

		I1 I2′
X	1S	I10	X ′	R2′
R1			2S
		X μ	E2′ = E1	C n
U1				U2′
		Rμ		Z н′

Рис. 2.6.3.1

Напряжения и токи в схеме всегда берутся в действующих (эффективных) значениях.

Параметры схемы замещения имеют общепринятые в технической литературе обозначения, количественное их значение должно быть предварительно установлено или рассчитано до пользования схемой. Должны быть известны также номинальные значения первичного и вторичного токов I1н, I2н , первичного и

вторичного напряжений U1н, U2н, коэффициента полезного дей-

51

ствия ηн , коэффициента мощности самого трансформатора cos ϕТн и нагрузки cosϕнн , частота первичного напряжения f1 .

Не следует путать схему замещения трансформатора (рис. 2.6.3.1) с его условным изображением в электрических цепях, как элемента (рис. 2.6.3.2).

	I1	I2
U1	W1	W 2 Z н U2

Рис. 2.6.3.2

Параметры схемы замещения

R1, R2′ — активные (омические) сопротивления первичной и вторичной обмоток, соответственно.

X1S , X 2′S — индуктивные сопротивления обмоток.

Xμ — индуктивное сопротивление току намагничивания

I10 .

Rμ — активное сопротивление току намагничивания. Cn — собственная (проходная) емкость обмоток.

Zн′ — сопротивление нагрузки.

Параметры вторичной обмотки пересчитаны к первичной через коэффициент трансформации KT :

R′	= R K 2	,	X ′	= X	2S	K 2	,	Z′= Z K 2 .	(2.6.3.1)
2	2 T		2S			T		’ ’ T

Напряжение и ток вторичной обмотки тоже приводятся к первичной через KT

U2′ =U2 KT , I2′ = I2 KT .

(2.6.3.2)

52

Все параметры схемы замещения можно определить опытно (экспериментально), если исследуемый трансформатор имеется в наличии.

Когда такой возможности не представляется, то эти параметры можно установить расчетно, причем с достаточно высокой точностью — погрешность в пределах ±10% [1, 5, 11].

Расчет параметров схемы замещения

Активное сопротивление обмоток

R = ρ		L	W	S		,	(2.6.3.3)
1	K	K1	1		n1
R2 = ρK LK 2 W2 Sn2.

Здесь ρK — удельное сопротивление материала проводников обмоток при расчетной температуре нагрева в номинальном режиме [Ом мм2/м], значения этого параметра приведены в табл. 2.6.3.1;

Sn1 , Sn2 — сечение провода без изоляции для первичной и вто-

ричной обмоток [мм2];

LK1 , LK 2 — средние длины витков первичной и вторичной обмоток [м].

Таблица 2.6.3.1 (взята из табл. П.1 Приложений)

Материал	Удельный		ρк , Ом мм2/м при tк град.
	вес gK
обмоток	г / см 3	20°С	70°С	90°С		120°С
Медь	8,8	0,0175	0,021	0,0238		0,0245
Алюминий	2,7	0,028	0,034	0,038		0,0392

Индуктивности рассеяния обмоток, согласно [11]:

′			2
				ск W1
Ls = L1s + L2s	,	Ls = μ0			Lк [ Гн ] ,	(2.6.3.4)
				3h
		′		к
L1s			= 0,5Ls
		= L2s

53

где μ0 = 4π 10−7 Гн / м, ск — толщина обмоток в катушке, где они выполнены [м];

hк — высота катушки [м];

Lк — средняя длина витков обмоток [м].

Примечание: значения ск и hк можно брать в мм или см, если это нужно, но Lк всегда следует переводить в метры.

Индуктивные сопротивления рассеяния:

X s = 2πf1 Ls		(2.6.3.5)
	.
X1s = X2′s = 0,5X s
Сопротивление проходной емкости	Сп:	можно рассчитать

по [11] после конструкторского расчета обмоток — размеров, числа слоев, толщины межслойной изоляции, диаметров проводников и др. Обычно величина Сп меньше 1 мкФ (дается в паспор-

те МЭ).

Параметры цепи тока намагничивания

В схеме замещения на рис. 2.6.3.1 сопротивления Xμ и Rμ

включены последовательно. Их значения являются пересчитываемыми из реальных величин X 0 , R0 , существующих для пи-

тающего напряжения U1 ,		как	включенные параллельно —
рис. 2.6.3.3.
I10			I10
			Xμ
U1	X 0	R0	U1
			Rμ
		Рис. 2.6.3.3

54

Согласно этому рисунку, имеем:

Xμ = X0

R2

0

,

(2.6.3.6)

R2 + X

2

0

0

Rμ = R0

X

2

0

.

(2.6.3.7)

R2

+ X

2

0

0

Здесь

R =U12

,

(2.6.3.8)

0

PC

B

γ1

f

γ

где Рс

по формуле (1.3.4):

Pс

= ρс0

кρ Gс

1

.

B0

f2

X0 = 2πf1 L0 .

(2.6.3.9)

Здесь L0

по формуле (2.2.6) при δ 0,025 мм (технологический

зазор стыка сердечников магнитопровода):

=

S

C

W 2

μ

a

L

1

.

(2.6.3.10)

L

0

+ 2 102 μ

a

C

Пример расчета параметров Xμ , Rμ .

Однофазный трансформатор выполнен на магнитопроводе ПЛ-образного типа, имеющем данные:

сталь электротехническая марки 3422 с толщиной ленты 0,15 мм и коэффициентом заполнения активным материалом кзс =

= 0,9; магнитной проницаемостью μа = 5 10−4				Гн/м,	удельными
потерями мощности	ρс = кρ ρco =14 Вт/кг			при	f10 =1кГц,
В = 0,5 Тл; удельным весом g		с	= 7,65 г/см3 ; коэффициент влия-
о

ния частоты на потери в стали γ =1,6; размеры магнитопровода:

а = с = 20 мм, b = 40 мм, h = 60 мм.

Трансформатор питается напряжением U1 = 220 В при частоте f1 = 400 Гц, имеет расчетную рабочую индукцию В =1,5 Тл и число витков первичной обмотки W1 = 200.

55

Расчет.

1. Сечение и средняя силовая линия магнитопровода:

	Sc	= a b кзс = 20 30 0,9 = 540 мм 2= 0,54 10−3 м 2 ,
			πa			20
	Lc	= 2 h + c +		= 2 60	+ 20 + 3,14			≈ 0,223	м.
						2
			2

2. Вес магнитопровода:

G= Sc Lc gc = 5,4 22,3 7,65 = 921г 0,92 кг.

3.Потери в стали:

B

2

f

γ

1,5

2

0,4

1,6

Pc

= ρc G

1

= 14

0,92

26,7 Вт.

1

B0

f0

0,5

4. Сопротивления параллельных ветвей на рис. 2.6.3.3:

R

= U12

= 2202

= 1823

Ом,

0

Pc

26,7

S

c

W 2 μ

a

1,08 10−2

−2

L0 =

1

=

3,35 10

Гн,

Lc

+ 2

102 5 10−4

0,223 + 0,1

X

0

= 2πf L

= 6,28 400 3,35 10−2 84 Ом.

1

0

5. Значения Xμ ,

Rμ :

Xμ = X0

R2

= 84

1,822 106

= 84 Ом,

R2 + X 2

1,822 106 + 0,0842 106

0

0

0

0,0842 106

Rμ = R0

X02

= 1823

R2 +

X 2

1,822 106 + 0,0842 106

0

0

1823

0,084

2

= 3,87 4 Ом.

1,82

Обычно Xμ > 4Rμ , тогда Zμ = Xμ 1+116 Xμ, поэтому величиной Rμ пренебрегают.

56

Расчет электрических величин

Выполняется с учетом установленных фактов, что всегда

R1 + R2′ << Rμ , X1S + X 2′S << Xμ , I10 << I1ном .

Поэтому можно считать: 1. Ток холостого хода

	I10 =			U1		U1	.			(2.6.3.11)
				Xμ2 + Rμ2
						Rμ
2. Ток короткого замыкания
I1кз = I2′кз =				U1				,		(2.6.3.12)
где Xк = X1S + X2′S = 2πf1 X S				X к2 +(R1 + R2′ )2
				(известно), XS по (2.6.3.5).
3. Ток нагрузки
I2′ = I1 =				U1					,	(2.6.3.13)
	(R1 + R2′ + Rн′ )2 +(X S + X н )2

	I2 = I2′	KT ,
	где
	Rн′ = Zн′ cos ϕн
	Xн′ = Zн′ sin ϕ’ = Zн′
			1−cos2 ϕн .
	Z′ = Z	K 2
	н	н	T

(2.6.3.14)

(2.6.3.15)

Значения zн и cos ϕн заданы.
4. Напряжение нагрузки
U2′ U1 − I2′ ZS ,	(2.6.3.16)
при ZS = X S2 +(R1 + R2′ )2
U2 =U2′ KT .	(2.6.3.17)

Выражение (2.6.3.16) определяет приближенно внешнюю характеристику трансформатора U2 = f (I2 ) в линейной ее части,

когда I2 ≤ 2I2ном .

57

Резонансные частоты

Эти частоты нужно знать и не допускать, чтобы фактическая частота работы трансформатора была близкой к резонансным.

Если рабочая частота трансформатора f1 равна резонансной частоте силового контура fрн (резонанс напряжений) схемы замещения, то xs = xc и через обмотки будет протекать очень большой ток

I1 = I2′ = U1 (R1 + R2′ ).

Если f1 равна резонансной частоте контура намагничивания f рх (резонанс токов), то магнитопровод войдет в насыщение из-за увеличения тока намагничивания, так как последний будет равен

I =	U1	вместо	I	=	U1	.
10	Rμ		10		Xμ2 + Rμ2

Это увеличит потери в стали, магнитопровод может перегреться больше положенной температуры.

Резонансные частоты находятся:

1. Для контура силовой цепи

X s = X c , 2πLS f рн =

1

,

2πC f

n

рн

f рн =

1

.

(2.6.3.18)

2π L C

п

n

Здесь L определяется по (2.6.18) или L =

X s

, если задано X

s

.

s

s

2πf1

2. Для контура намагничивания

Xμ = Xc

→ 2π Lμ f рx

=

1

→ f рx

=

1

,

(2.6.3.19)

2πf рxCп

2π

LμCn

Всегда

f

рн

>> f

рх

, так как

f рн

=

Lμ

, где L

>> L .

f рх

Ls

μ

s

58

Постоянные времени

При включениях трансформатора на холостом ходу и под нагрузкой токи и выходные напряжения достигают установившихся значений не сразу, этому мешают накопители энергии X s ,

Xμ , Xн.

Характер переходных процессов в обоих случаях включения — экспоненциальный, поэтому длительность их можно измерить четырьмя постоянными времени соответствующего режима.

Постоянная времени включения без нагрузки

T

=

Lμ

,

(2.6.3.20)

xx

Rμ

L =

Xμ

.

(2.6.3.21)

μ

2πf1

Постоянная времени включения с нагрузкой

T =

X s + Xн′

1

,

(2.6.3.22)

R

н

+ R′ + R′

2πf

1

2

н

1

где X н′, Rн′ определяются по (2.6.3.15).

Длительность переходных процессов:

при включении без нагрузки

tпxx 4Txx ,

(2.6.3.23)

при включении с нагрузкой

Tnн 4Tн.

(2.6.3.24)

Примечание: формулы (2.6.3.20), (2.6.3.22) дают достовер-

ные результаты, когда емкость Сn не оказывает влияния на переходныепроцессы, чтосоответствуетусловию X c >> Xμ и f1 < f рx .

2.6.4 Другие формы напряжений в обмотках МЭ

Одной из отличительных особенностей магнитных элементов электронных устройств (МЭ ЭУ) является тот факт, что формы напряжений их обмоток часто существенно отличаются от синусоиды. Некоторые варианты таких несинусоидальных форм напряжений показаны на рис. 2.6.4.1.

			59
	U
а	B	t
			б
	T 2
	T
	U
в		t	г
	tи
	T 2

	U
	U1Г	t
д			е

U

B

t

tи

T2

U

B

t

U

t

U1Г

U	B = Bs
ж
tи

Рис. 2.6.6 — Формы напряжений и индуктивностей МЭ ЭУ

Формы напряжений на этом рисунке описываются уравнением:

ψ =W1 Sc B = ∫Udt.

(2.6.4.1)

Конечное значение для синусоидальных значений U для В представлены выражением (2.6.3). Для прямоугольных импульсов напряжения имеем