Фоторефрактивные эффекты в электрооптических кристаллах

В линейном приближении по контрасту m амплитуду первой пространственной гармоники абсорбционной решетки представим в виде 1(x,t) m(x) g (t) , где g (t) — параметр,

характеризующий пространственно-неоднородные фотоиндуцированные изменения поглощения в кристалле. Учитывая локальную связь абсорбционной компоненты решетки с интерференционной картиной, а также вклады электрооптического и фотоупругого эффектов в ее фазовую составляющую, представим относительную диэлектрическую проницаемость кристалла на частоте световой волны в виде

ε(x,t) ε		0		εph	(x,t)	exp(iKx)		εph*(x,t)		exp( iKx)
				2				2
	εa		(x,t,m)		exp(iKx)		εa	x,t,m*	exp( iKx).		(4.7)
			2					2
Компоненты тензоров ε0 , εph								и εa для невозмущенного

кристалла и наведенных в нем возмущений диэлектрической проницаемости с учетом соотношений, приведенных в главе 2 (см. подразд. 2.5) и работе [48], определяются выражениями

0

n2

i

n0

mn

i

2n0

mnp

m

p

,

(4.8)

mn

0

k0

k0

mnph

im n04Esc bmn ,

(4.9)

mna (m) im n0

g mn ,

k0

1

bmn

mnp

pp

PmnklE

pl kiepir pp pr ,

(4.10)

rs

41

где mn — единичный симметричный тензор второго ранга;mnp — единичный антисимметричный тензора третьего ранга; pp — направляющие косинусы вектора решетки K x0 ;

r41S и PmnklE — компоненты электрооптического тензора зажатого

кристалла и фотоупругого тензора, измеренные при постоянном электрическом поле; ki — компоненты тензора, обратного к

	ik	CE	p	p ; CE		и e	pir	— компоненты тензоров модулей уп-
		ijkl		j l	ijkl

ругости и пьезоэлектрических констант.

130

Использование метода медленно меняющихся амплитуд и приведенных выше соотношений позволяет из волнового уравнения для кубических гиротропных кристаллов получить уравнения связанных волн, описывающие взаимодействие волн сигнала и накачки на отражательной голографической решетке, в следующем виде [39]:

dCS1 dx

dCS 2

dx

m g*C

exp( i2 x) (g

g

)C

exp( x),

4 I

P1

E

P2

(4.11)

m (gE g )CP1 gI CP2 exp(i2 x) exp( x), (4.12)

4

dCP1

m

gI CS1 exp(i2 x) (gE g )CS 2 exp( x),

(4.13)

dx

4

dCP2

m* (g

g

)C

g*C

exp( i2 x) exp( x),

(4.14)

4

dx

E

S1

I

S 2

где k0n03r41S ESC — постоянная связи; gI	e1* b e2 и
gE e1* b e1 e*2 b e2 — тензорные	свертки, описы-

вающие соответственно вклад во встречное взаимодействие внутримодовых (без изменения собственного показателя пре-

ломления) и межмодовых процессов; g g k0n03r41S ESC —

коэффициент, описывающий относительный вклад абсорбционной решетки в двухпучковое взаимодействие.

Система уравнений (4.11)–(4.14) может быть использована для анализа двухволнового взаимодействия на отражательных голографических решетках в кубических фоторефрактивных кристаллах при произвольной поляризации световых пучков.

131

4.2. Анизотропия вкладов внутримодовых и межмодовых процессов во встречное взаимодействие световых волн

Входящие в уравнения (4.11)–(4.14) коэффициенты gl , gE и g определяют эффективность и поляризационные характери-

стики взаимодействия волн сигнала и накачки на отражательной решетке. Абсорбционная решетка дает вклад в межмодовый процесс двухпучковой связи, происходящий с изменением собственного показателя преломления. Характеризующий этот вклад коэффициент g является действительной величиной, не зави-

сящей от ориентации вектора решетки K относительно кристаллографической системы координат. Анизотропия электрооптического эффекта и вторичного фотоупругого вклада приводят к ориентационной зависимости другого действительного коэффициента, gE , дающего вклад в межмодовые процессы. Для ее

анализа определим ориентацию оси x, с которой совпадает вектор K принятой нами системы координат xyz (рис. 4.1), относительно кристаллографических осей [001] и [100], сферическими

координатными углами и (рис. 4.2). Будем считать, что ось z всегда лежит в плоскости (001), а ось y ориентирована в плоскости, проходящей через вектор решетки K и направление [001] (см. рис. 4.2).

[001]

[010]

K

Y

[100]

Z

Рис. 4.2. Ориентация осей рабочей системы координат xyz (см. рис. 4.1) относительно кристаллографических осей

132

Рассчитанные для кристалла титаната висмута зависимости gE от ориентационного угла при некоторых постоянных углах

, представленные на рис. 4.3,а, с учетом симметрии кристалла полностью отражают анизотропию этого коэффициента. Отсюда следует, что при ориентации вектора отражательной решетки в кристаллографических плоскостях типа {100} (то есть (100), (010) и (001)) вклад ее фазовой (фоторефрактивной) составляющей в межмодовые процессы отсутствует. Максимальных значений этот вклад достигает при ориентациях вектора K в плоскостях типа {110}, вдоль кристаллографических направлений вида <111>.

Анизотропия коэффициента gI		gI		exp(i I ), дающего

вклад во внутримодовые процессы и в общем случае являющегося комплексным, иллюстрируется рис. 4.3,б и 4.3,в, где представлены ориентационные зависимости его модуля и аргумента для кристалла титаната висмута. Модуль коэффициента gI до-

стигает максимума при ориентации вектора решетки вдоль кристаллографических направлений вида <111> (рис. 4.3,б). В этом случае связь взаимодействующих на отражательной решетке встречных волн, обусловленная ее фоторефрактивной компонентой, осуществляется только за счет внутримодовых процессов

( gI 1, gE 0). При ориентации вектора K вдоль направлений

вида <111> вклад этой компоненты во внутримодовые процессы отсутствует, в то время как коэффициент межмодовой связи принимает экстремальные значения ( gE 0,266 , см. рис. 4.3,а).

Отметим, что фазовая составляющая отражательной решетки не приводит к взаимодействию волн при ориентации вектора K

вдоль кристаллографических направлений вида <110> ( gI 0 , gE 0). Для такого среза кубического фоторефрактивного кри-

сталла встречное взаимодействие возможно только на амплитудной (абсорбционной) компоненте отражательной решетки.

Модуль коэффициента gI определяется только ориентацией

оси x, которая совпадает с направлением вектора решетки K, и не зависит от ориентации осей y и z относительно кристаллографической системы координат (см. рис. 4.2). Однако аргументi коэффициента gI инвариантностью к выбору осей y и z

133

не обладает, поскольку фазы входящих в уравнения комплексных амплитуд собственных волн, характеризующих их поляризационное состояние, также зависят от ориентации этих осей. Приведенные на рис. 4.3,в ориентационные зависимости отражают поведение аргумента коэффициента gI для выбранной

(рис. 4.2) системы координат xyz. В этом случае коэффициент gI

является чисто мнимым при векторе отражательной решетки, ориентированном в кристаллографических плоскостях типа {100}, и чисто вещественным для плоскостей типа {110}. При анализе анизотропии коэффициентов gE и gI использовались

материальные параметры кристалла титаната висмута из работы

[49].

а

Рис. 4.3. Зависимости действительного коэффициента gE , характеризующего эффективность межмодовых процессов (а), от угла между вектором решетки и кристаллографической

осью [001] для различных ориентационных углов (окончание на с. 134)

134

б

в

Рис. 4.3. Зависимости модуля (б) и аргумента (в) коэффициента gI , характеризующего внутримодовые

процессы, от угла между вектором решетки и кристаллографической осью [001] для различных

ориентационных углов (начало на с. 133)

135

4.3. Двухпучковое взаимодействие линейно поляризованных волн

Из уравнений (4.11)–(4.14) и (4.6) следует, что при линейной поляризации взаимодействующих волн их амплитуды удовлетворяют условиям

Cp1(x) C*p2 (x) Cp (x) и Cs1(x) Cs*2 (x) Cs (x)

и могут быть представлены в виде

Cp1,2	(x)				Cp (x)				exp i p (x) ,	(4.15)
Cs1,2 (x)			Cs (x)				exp i s (x) .

В этом случае контраст интерференционной картины в кристалле, определяемый формулой (4.6), является действительной функцией координаты x:

m(x) 2

Cs (x)Cp (x) Cs*(x)C*p (x)

I0 (x)

2

Cs (x)

Cp (x)

cos s (x) p (x)

,

(4.16)

Cp (x)

2 exp( x)

Cs (x)

2 exp( x)

а уравнения связанных волн (4.11)–(4.14) сводятся к следующим двум уравнениям:

dCs

m

g

C

exp i(2 x

) (g

g

)C* exp( x),

dx

4

I

p

I

E

p

(4.17)

dCp

m

g

C

exp i(2 x

) (g

g

)C* exp( x).

dx

4

I

s

I

E

s

(4.18)

Переходя к интенсивностям волн сигнала

Is (x) и накачки

I p (x) в кристалле, выражаемым с помощью соотношений

2

(x)

2

Is (x) ~

Cs1(x)

Cs2

exp( x),

136

I p (x) ~

Cp1

(x)

2

Cp2 (x)

2

exp( x),

из системы уравнений (4.17) и (4.18) получаем [39]

Ixs Is gI cos(2 x I s p )

(gE ga )cos( ) cos( )

Is I p

,

(4.19)

Is I p

I p

I p

gI

cos(2 x I

s

p )

x

(gE ga )cos( ) cos( )

Is I p

,

(4.20)

Is I p

s

gI

sin(2 x I s

p )

x

2

I p

(gE

ga )sin( ) cos( )

,

(4.21)

Is I p

p

gI

sin(2 x I s

p )

x

2

Is

(gE

ga )sin( ) cos( )

,

(4.22)

Is I p

где s p .

Уравнения (4.19)–(4.22) позволяют полностью описать встречное взаимодействие при линейной поляризации волн для произвольной ориентации кристалла с учетом электрооптического и фотоупругого эффектов и дифракции на абсорбционной решетке.

В случае пренебрежимо малого вклада абсорбционной решетки во взаимодействие, из уравнений (4.19) и (4.20) получаем

1		d Is I p				gI		cos(2 x I s p )
Is I p		dx
			gE cos( ) cos( ).						(4.23)

137

Интегрирование этого выражения приводит к результату

Is (x)I p (x) Is (0)I p (0)

	x
				gI			,
exp						cos(2 x I s p ) gE cos( ) cos( )dx
	0

(4.24)

позволяющему ввести эффективный коэффициент усиления для встречного взаимодействия в кристалле с толщиной, равной d, в виде

			0					cos(2 x I s p ) gE cos( ) cos( )dx.
	eff					gI
		d
			d	(4.25)

Отметим, что данный коэффициент может быть выражен через интенсивности взаимодействующих волн:

		1
			Is ( d)I p ( d)
eff			ln
		d			Is (0)I p (0)

, (4.26)

которые, в свою очередь, могут быть легко определены из экспериментальных данных. Коэффициент eff характеризует эф-

фективность встречного векторного взаимодействия на фазовой отражательной решетке и не зависит от поглощения света в кристалле, а также от изменений поглощения, которые происходят в процессе ее формирования.

4.4. Скалярное приближение при двухпучковом взаимодействии линейно поляризованных волн

Для анализа двухволнового взаимодействия на отражательных голографических решетках в тонких кристаллах с малым удельным вращением может быть использовано скалярное приближение, рассмотренное для волн с линейной поляризацией в работе [21]. Соответствующие уравнения связанных волн могут

быть получены из общих уравнений	(4.11)–(4.14) при gE 0
и gI i и амплитудах собственных	волн, удовлетворяющих

138

условиям Cp1(x) C*p2 (x) Cp (x)

и Cs1(x) Cs*2 (x) Cs (x).

В пренебрежении абсорбционной компонентой решетки, которая в силленитах может давать вклад в усиление, составляющий менее 0,2 см–1 [26], необходимая для анализа система уравнений сводится к двум уравнениям, подобным приведенным в работе

[21]:

dCp

m C

S

exp i 2 x / 2 exp( x),

(4.27)

dx

4

dCS

mC

p

exp i 2 x / 2

exp( x).

(4.28)

dx

4

при контрасте интерференционной картины m(x), являющемся действительной функцией координаты x и определяемым уравнением (4.16). Переход к интенсивностям волн сигнала и накачки, подробно описанный для образцов произвольного среза в подразд. 4.3, позволяет получить следующие уравнения для описания встречного взаимодействия в кристалле среза (100):

1

d Is I p

gI

sin(2 x s p )

cos( ),

(4.29)

Is I p

dx

d

I p Is I p Is ,

(4.30)

dx

s

gI

cos(2 x s p ) cos( )

I p

,

(4.31)

Is I p

x

2

p

gI

cos(2 x s p ) cos( )

Is

.

(4.32)

x

2

Is I p

Интеграл уравнения (4.29) имеет вид

Is (x)I p (x) Is (0)I p (0)

					x
		g				sin(2 x					(4.33)
exp			I				P		S	)cos( )dx
			0

и зависит от поведения фаз взаимодействующих волн в кристалле.

139