Радиоавтоматика

151

Интегри-	h(t)		( t )
рующее			k
	0	t	0	t

Дифферен-	h(t)
цирующее	k (t)

	( t ) k	d ( t )
		d t

0 t

Форси-	h(t)
рующее	k (t)	( t ) k T	d (t)	(t)
	k		d t
	0	t

Запазды-	h(t)	( t )
			k ( t )
вающее
	k

t T

T

t

152

12.ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ САР

12.1.Виды соединений звеньев САР

Структурная схема САР, состоящая из типовых звеньев, позволяет без сложных математических вычислений находить передаточные функции САР.

В САР встречаются три вида соединений звеньев: последовательное,

параллельное и соединение звеньев по схеме с обратной связью [1-4, 10-11].

Последовательное соединение

При последовательном соединении выход каждого звена соединен со входом последующего (рис. 12.1.а). Из рисунка для изображения по Лапласу выходной величины запишем

Y ( p) X n 1( p)Wn ( p) X1( p)W2 ( p) Wn ( p)

. (12.1)

X ( p) W1( p) W2 ( p)

Wn ( p)

X(p)

X1

( p)

X 2 ( p) X

n

( p)

Y(p)

X(p)

Y(p)

W1 ( p)

W2 ( p)

Wn ( p)

WЭ ( p)

а

б

Рис. 12.1. Последовательное соединение звеньев (а)

и эквивалентное звено (б)

Отсюда получим выражение для передаточной функции последовательно соединенных звеньев в следующем виде

WЭ ( p) Y ( p) X ( p) W1 ( p)W2 ( p) Wn ( p) .	(12.2)
Таким образом, последовательно соединенные звенья преобразуются к

одному звену (рис. 12.1,б) с передаточной функцией, равной произведению передаточных функций отдельных звеньев:

153

n

WЭ ( p)

Wi ( p) .

(12.3)

i 1

АФХ последовательно соединенных звеньев запишется

WЭ ( j )

W1 ( j )W2 ( j

) Wn ( j

)

WЭ ( j

)

e

j Э (

)

, (12.4)

)

W1 ( j

)

W2 ( j

)

Wn ( j

)

где

WЭ ( j

;

Э ( )

1 (

)

2 ( )

n ( )

— АЧХ

и

ФЧХ

последовательно

соединенных звеньев.

Из выражения (12.4) определим ЛАЧХ и ЛФЧХ последовательно

соединенных звеньев

LЭ (

) 20lg

W1( j

)

20lg

W2 ( j

)

n

;

(12.5)

20 lg

Wn ( j )

Li ( )

i 1

n

Э (

)

1 (

) 2 (

)

n (

)

i (

) .

(12.6)

i 1

Следовательно, ЛАЧХ и ЛФЧХ звеньев, соединенных последовательно,

равны соответственно сумме ЛАЧХ и ЛФЧХ отдельных звеньев. Это существенно упрощает построение логарифмических частотных характеристик по сравнению с обычными характеристиками.

Параллельное соединение

При параллельном соединении звеньев на вход подается один и тот же сигнал, а выходные сигналы суммируются (рис.12,а).

Для изображения по Лапласу выходной величины получим

Y ( p) X1 ( p) X 2 ( p) W1 ( p) W2 ( p)

X n ( p)
Wn ( p) X ( p) .	(12.7)

Отсюда получим выражение для передаточной функции параллельно соединенных звеньев в следующем виде:

						154
WЭ ( p) Y ( p)		X ( p) W1 ( p)		W2 ( p) Wn ( p) .		(12.8)
		X1 ( p)
	W1 ( p)
X(p)		X 2 ( p)	Y(p)	X(p)		Y(p)
					WЭ ( p)
	W2 ( p)
		X n ( p)
	Wn ( p)
					б
	а
	Рис. 12.2. Параллельное соединение звеньев (а)
		и эквивалентное звено (б)

Таким образом, параллельно соединенные звенья преобразуются к одному звену (рис. 12.2,б) с передаточной функцией, равной сумме

передаточных функций отдельных звеньев:

				n
		WЭ ( p)		Wi ( p) .		(12.9)
				i 1
АФХ для параллельно соединенных звеньев запишется
		n
	WЭ ( j	)	Wi ( j ) U ( ) j V		) ,	(12.10)
		i 1
	n	n
где U ( )	Ui ( ) , V ( )	Vi (	)	— вещественная и	мнимая	частотные
	i 1	i 1

характеристики звеньев, соединенных параллельно.

АЧХ и АФХ звеньев, соединенных параллельно, определяются по следующим формулам

W ( j	)		U 2 ( )	V 2 (	) ,	(12.11)
Э
Э (	)		arctg V (	) U (	) .	(12.12)

Для построения логарифмических частотных характеристик параллельно соединенных звеньев необходимо найти сначала амплитудную и фазовую частотные характеристики.

155

Соединение звеньев по схеме с обратной связью

На вход звена, охваченного обратной связью, подается сигнал

рассогласования (рис.12.3,а), для которого преобразование Лапласа запишется

			e( p) X ( p)			WOC ( p)Y ( p) .			(12.13)
X(p)	e(p)					Y(p)
			W1 ( p)
X OC ( p)						X(p)				Y(p)
							W	Э	( p)
			WOC ( p)
								б
			а
	Рис. 12.3. Соединение звеньев по схеме с ОС (а)

иэквивалентное звено (б)

Всоответствии с определением передаточной функции

	Y ( p)				W1 ( p) e( p) .				(12.14)
Исключив из последних двух уравнений e ( p) , получим
Y ( p)						W1 ( p)	X ( p) .		(12.15)
			1		W1 ( p)WOC ( p)
Таким образом, соединение звеньев по схеме с ОС преобразуется к
одному звену (рис. 12.3,б) с передаточной функцией
WЭ ( p)		Y ( p)				W1 ( p)		.	(12.16)
		X ( p)			1 W1 ( p)WOC ( p)
Передаточная функция (12.16) найдена для отрицательной									обратной

связи. Передаточная функция для положительной обратной связи (ПОС)

запишется

	WЭ ( p)	Y ( p)		W1	( p)	.	(12.17)
		X ( p)	1 W1 ( p)WOC ( p)

Таким образом, передаточная функция замкнутой одноконтурной системы равна дроби, в числителе которой передаточная функция разомкнутой

156

системы (от точки приложения внешнего определяется реакция), в знаменателе — сумма единицы и произведения передаточных функций

воздействия до точки, где для ООС и разность для ПОС всех звеньев системы.

12.2. Передаточная функция

замкнутой системы с задающим

и возмущающим воздействием

Рассмотрим обобщенную структурную схему замкнутой системы,

охваченной единичной ООС, с задающим X ( p) и возмущающим Z ( p)

воздействием (рис.12.4).

	e(p)		Z(p)	Y(p)
X(p)
	W1	( p)
				W2 ( p)

Рис. 12.4. Обобщенная структурная схема замкнутой САР с задающим и возмущающим воздействием

Для линейной САР с постоянными параметрами изображение по Лапласу

выходной величины запишется

Y ( p) YX ( p) YZ ( p)	,	(12.18)
WX Y ( p) X ( p) WZ Y ( p) Z ( p)

где YX ( p) ,YZ ( p) — изображение составляющих выходной величины,

обусловленных соответственно задающим воздействием X ( p) и

возмущающим Z ( p) ; WX Y ( p) ,WZ Y ( p) — передаточные функции замкнутой системы соответственно по задающему X ( p) и возмущающему Z ( p)

воздействиям.

157

В свою очередь с учетом (12.16) передаточные функции замкнутой

системы, соответственно по задающему X ( p) и возмущающему Z ( p)

воздействиям запишутся:

	WX Y ( p)		W1 ( p)W2 ( p)						,		(12.19)
		1 W1			( p)W2 ( p)
	WZ Y ( p)					W2 ( p)				.	(12.20)
			1 W1 ( p)W2 ( p)
	Передаточные функции замкнутой системы для ошибки системы по
	задающему X ( p) и возмущающему Z ( p) воздействиям запишутся:
	WX e ( p)					1			,		(12.21)
		1 W1				( p)W2	( p)
	WZ e ( p)				W2 ( p)				.		(12.22)
		1 W1				( p)W2	( p)

Отметим, что знаменатель всех передаточных функций замкнутой системы один и тот же, а числитель зависит от места приложения сигнала.

12.3.Передаточные функции многоконтурных систем

Вобщем случае САР может содержать произвольное число связанных друг с другом контуров. Приведем правила преобразования структурных схем

(табл. 12.1).

Эти правила очевидны и вытекают из условия сохранения на выходе схемы сигналов при выполнении соответствующих преобразований.

Основной задачей преобразования структурной многоконтурной схемы САР является приведение ее к схеме с неперекрещивающимися связями, когда отдельные контуры не сцепляются друг с другом. Затем, используя формулы

(12.3), (12.9), (12.16) и (12.17) для последовательного, параллельного соединения и соединения по схеме с ОС, можно записать передаточную функцию САР.

158

Рассмотрим примеры преобразований структурной многоконтурной схемы (рис. 12.5,а), устраняющих перекрещивающиеся обратные связи.

На рис. 12.5,б и 12.5,в приведены соответственно преобразованные структурные схемы после переноса узла 2 с выхода на вход и узла 1 со входа на выход звена с передаточной функцией W3 ( p) .

Таблица 12.1

Правила преобразования структурных схем

Операция при	Исходная схема				Преобразованная схема
преобразовании
Перенос узла	X(p) 1		2 X(p)		X(p) 2		1	X(p)
через узел		X(p)		X(p)		X(p)		X(p)
Перенос
сумматора	X(p)	1	2	Y(p)	X(p)	2	1	Y(p)
через	X 1(p)			X2(p)	X (p)			X 1(p)
					2
сумматор
Перенос узла
через	X(p)			Y(p)	X(p)		Y(p)
сумматор		X(p)		X1(p)	X1(p)
							X(p)
Перенос
сумматора	X(p)			Y(p)	X(p)			Y(p)
через узел	X1(p)			Y(p)			X1(p)
					Y(p)

159

Продолжение таблицы 12.1

Операция при Исходная схема Преобразованная схема преобразовании

	Перенос узла	X(p)	Y(p)	X(p)	Y(p)
					W(p)
		W(p)
	через звено
		X(p)			1/W(p)
					Y(p)
		X(p)	Y(p)	X(p)	Y(p)
		W(p)		W(p)
			Y(p)	W(p)
				Y(p)
	Перенос	X(p)	Y(p)	X(p)	Y(p)
				W(p)
		W(p)
	сумматора
		X1 (p)
	через звено				W(p)
		X(p)	Y(p)		X1 (p)
				X(p)	Y(p)
		W(p)			W(p)
			X1 (p)	1/W(p)
	Замена звеньев			X1 (p)
	прямой и	X(p)	Y(p)	X(p)	Y(p)
	обратной цепи	W(p)		1/W(p)
		Wос(p)		1/Wос (p)
	Переход к
	единичной ОС	X(p)	Y(p)	X(p)	Y(p)
		W(p)		1/Wос (p)	W(p) Wос(p)
		Wос(p)

X(p) 1

W1 ( p)

X(p) 1

W1 ( p)

160

W4 ( p)

2

1

2

Y(p)

W2 ( p)

W3 ( p)

W5 ( p)

а

W4 ( p)

W3 ( p)

2

Y(p)

1

W2 ( p)

W3

( p)

W5 ( p)

б

W4 ( p)

X(p)

1

2

2

Y(p)

W1 ( p)

W2 ( p)

W ( p)

3

W5 ( p)

1/W3 ( p)

в

1/W1 ( p)

W4 ( p)

X(p)

Y(p)

1

2

W1 ( p)

W2 ( p)

W3 ( p)

W5 ( p)

г

W4 ( p)

X(p)

Y(p)

1

2

W1

( p)

W2 ( p)

W ( p)

3

W1 ( p) W5 ( p)

д

Рис. 12.5. Приведение структурной схемы САР к схеме с неперекрещивающимися связями