Радиотехнические цепи и сигналы. Часть 1 Теория сигналов и линейные цепи

10

Нарисункеб1пре.1 дельтаставлено	-образующеесемейс	твонепр е-
рывныхфункцийстакимижесвойствами:

δ (ω) = lim

α /π

∞,ω = 0,

=

2 + ω 2

0,

α→0 α

0,ω ≠

∞ α /π

1 ∞

1

1

ω

∞

dω =

d (ω /α) =

arctg

= 1.

−∫∞ α 2

+ ω 2

π −∫∞ 1

+ (ω /α)2

π

α

−∞

Изображают δ

– функциюкороткойвертикастреточке,лкойьной

δ (t)

и δ (ω) –

гдеонаопределенане(равнанулю)Т. образомким,

это

условнаясокрзапщрисьоеднаяиздельтаелаого

-образующихс

е-

мействфункцийтаблица( 1каждое.1),изкотохарактыхтремяо ризуется

с-

новнымисвойствами:

1)действиедельта

-образующихсемействфункцийсосредоточено

началекоординат

δ (t)

∞,t = 0,

(1.1)

=

0,t ≠ 0;

2)любаядельта

-образующаяфункцимеетединичнуюплощадь,т..

∞

∫δ (t)dt = 1;

(1.2)

3)всефункциидельта

−∞

-образующегосемн йстваотрицательны

окрестнуляости

δ (t) > 0 при t → 0.

(1.3)

Возникнувнедрахабстрактнойматематики,

δ – функциявнедрилась

нетольковтеорию,нвпраналктсигникуцепейза.Универсаллов

ь-

ныесвойства

δ – функциипозволяютвыполнятьматематическиеоперации

непосредственнонад

δ – фу,нобращаясьекцидейльта

-образующимс

е-

мействам.

Рассмотримподробнеенекоторыеизмат преобразованийматических.

а)	Задевор.еменижка
Перемещение δ – функциивовременимат		ематическивыполняется
помощьюзаменыв (1аргумента.1)		t на (t − t0 ) иобеспечиваетперенос
действия δ – фуизнкцииачалакоординатвпроизвольнуюточку		t0 (ри су-

нок1.2).

	s(t)
δ(t)
0	t

11
		s(t)
		δ(t-t0)
0	t0	t

Рисунок1.2		− Фильтрующеесвойство		δ – функциипердействиянос
			изн ачалакоординатвточку	t0
б)	Фильтрующеесвойство		δ – функции.
Использование δ			– функциипозвоаналпуяетитичопредемским		е-
литьзначесигвпроизвольнойиеалаточке				t0 :
		t2
		∫ s(t) δ (t)dt =s(0), t1 < 0 < t2;			(1.4)
		t1
		t2
		∫ s(t) δ (t − t0 )dt =s(t0 ), t1 < t0 < t2.			(1.5)
		t1
в)	Дифференцирование δ – функции.
Применяя δ – функ,моценскоростьжноиюизменениясигналав
точке t0 :			δ ʹ(t − t0 ) = 0, t ≠ t0 ;
					(1.6)
	t2		t2
	∫ s(t) δ ʹ(t − t0 )dt = − ∫ sʹ(t) δ (t − t0 )dt = − sʹ(t0 ).				(1.7)
	t1		t1

г) Интегрирование Интегрирование δ

Хевисайда σ (t):

t

∫δ (τ

−∞

δ– функции.

–функциипр вознводфуиткнкцииовению

1,t > 0,

)dτ = σ (t) = 12 ,t = 0,

0,t < 0.

НафункцХеведи(сайдаискани)остановимсячномкеподробнее. Единисканеявляетсячокныйфункциейсмыслеклассическогоанализа.

Определяютфункцию Хевисайда σ (t) какпределинтегралаотдельт

(1.8)

-

образующихсемейств.Двасемейства,перехопределекфункцииящие Хевисайда,изображенынарисунке1.3.

12

Таблица1Дельта.1.

-образующиефункции

Аналитическоевыражение

Графическоепредста

вление

1

τ

1

τ

,

t

≤

δ (t) = lim

2

τ

τ →0 0,

t

>

τ

2

τ

2

δ(t) = lim α e−α t

α→∞ 2

δ(t) = lim α e−αt , t ≥ 0

α→∞

δ (t) = lim

sinωt

ω π

πt

ω →∞

1

ω

δ (t) = lim

∫e jΩt dΩ

ω →∞ 2π

−ω

π 2ω

1

α

απ

δ (ω) = lim

π

α →0 α 2 +ω 2

ω

δ (ω) = lim

sin

ω t

t→∞

π

ω

1

t

δ (ω) = lim

∫e− jωτ dτ

t →∞ 2π

−t

t

t

σ (t) = ∫δ (τ )dτ = lim ∫

sinωτ

dτ

−∞

ω →∞

πτ

−∞

t

13

1
0	t

1
0	t

	Рисунок1.3	− ОбразованиефункцХев сайда
ФункцизображаютХевисайдаединичнойстусп(еребрнькой				о-
сомуровня	началекоординат),видимо,поэтназываютфункциейму
включеилиедискани. чянымком
ОсновныесвойствафункцХев: исайдаи
	1) аналитическаясвязь		δ – функцией	(1.9)
		σ ʹ(t) = δ (t);
	2) формированиеодностороннегосиг			нала s(t ) произвольной
функции	f (t )

f (t),t ≥ 0, s(t) = f (t) σ (t) =

0, t < 0;

3) определезначесигвпроизвольнойияалаиеточке

∞

∫s(t) σʹ(t − t0 )dt = s(t0 );

−∞

4) определениескоростиизменсигналавточкения

∞

∞

(1.10)

(1.11)

	∫ s(t) σ ʹʹ(t − t0 )dt =	∫ s(t) δ ʹ(t − t0 )dt = −sʹ(t0 ).				(1.12)
	−∞	−∞
	Единискаможночпредставитьокныйсуммойнечетной					о-
	ставляющихрисунок( 1.4):
	σ (t) =	1	+	1	sign(t).	(1.13)
		2		2

Втаблице1представлены.1 различныедельта		- образующиефункциис
единичнойплощадью,которыепривыпредолнении		ельногопереходапр	и-
обретаютсвойства	δ – функции.Используется	δ – функциявподынт	е-
гральныхвыраженияхдлясокращобъемапр образованийобеспечения
ясностиприд фференцированетольконепрерыв,но нииых		иразрывных
функций.

14
1				σ(t)
				0	t
0,5
				0	t

0,5sign(t)	0,5
	0	t
	-0,5

Рисунок1.4		− Графическоепредставлеединичска нкаогоие
1Описание.2 алгоритвзаимодействия
	обобщенфункцийсиг ыхалов
ФункцХевисайдаю			δ	– функциюможносдвигать,п	еремножатьс
другимифункциями,интегрироватьна( п, частямример),дифференцир					о-
ватьи.д.Соотвематствующийематическийаппаратразработан.
ФункцияХевисайда			δ	– функция - этолинейныеоператорыили(
фун),которыеционалыработа				ютпоопределеденнымпра,свиламв
таблицу1Прав.2эти.простыиудобныла.Онизаменяютбольшойобъем
классическихматематическихпреобразован.Физичесмыслкий					а-
зованийспомощьюобобщенныхфункцийбудемвыяснятьпрознцессе					а-
комленияс	дисципл.Единскаичонныйк				δ – функция – этонетолько
функционалы,предправилаисывающиепреобразований,ониимеютсам					о-
стоятельноеприменениевкачествиспыта« »сигналовтеориицльных					е-
пей.
Рассмотримразличныепреобразован				ия,позволяющиеаналитич ским
путемосуществопределитьвыбормомеменинтазначесигвнияала
произвточке:льной
		∞
		∫s(t) δ (t − t0 ) dt = s(t0 );			(1.14)
		−∞
		∞			(1.15)
		∫s(t)σ (t − t0 )dt =s(t0 );
			ʹ
		−∞
		∞
		∫ sʹ(t)σ (t − t0 )dt = −s(t0 ).			(1.16)
		−∞

	15
Реализациипреобразованийвидест	руктурныхсхемсодержатспец	и-
ализирбл,выполняющиеванныекиследующиеоперации:

- умножение;

- задержка во времени;

∑- сложение;

	d	- дифференцирование во времени;
	dt

∫	- интегрирование во времени;

A - усиление (с коэффициэнтом усиления A);

-A - усиление (с коэффициэнтом усиления A и инверсией).

Структурнаясхема,соответствующпреобразов(1ивр.14),аянию		е-
менныедиаграммы,поясняющиеееработувотмечточках,изображнных		е-
нынарисунках	1и.15.6.

1	t0	2	4
δ(t)		δ(t-t0)	δ(t-t0)s(t)
			3
		s(t)

∫

5

s(t0)

Рисунок1.5 − Реализапреобразованияфункци нального(1.14)

s1(t)
	δ(t)
0		t
s2(t)
	δ(t-t0)
0	t0	t
s3(t)	s(t)
0		t
s4(t)
	s(t0) δ(t-t0)
0	t0	t
s5(t)
	s(t0)
0	t0	t

16
s1(t)
	rect(t)
0		t
s2(t)
		rect(t-t0)
0	t0	t
s3(t)		s(t)
0		t
s4(t)		s(t) rect(t-t0)
0	t0	t
s5(t)
		s(t0), t ≥ t0+τ/2

0

t0

t

		а)	б)
Рисунок1.6		− Времендиаграммыэпюры( ныеапряженийвконтрол		ь-
ныхточкахсхемырис. 1пояс.5),аналитическийяющиевыборзна			ченияси	г-
налавпроизмомврольныйсепомощьюнтменидвухиспытательных« »
функций:а)	δ –функцииб)прямоугомпуконечнойдлительнсаного			о-
сти rect(t)

Структурныесхемы,реализующиедваспопределениясобазначения сигналавпроизмомврольныйентм ени(1.(1представлены5).16),на и- сунке1.7.

17

σ(t)	d	σ"(t)	σ"(t-t0)
			t0
	dt

σ"(t-t0) s(t)	s(t0)
	∫

s(t)

σ(t)

t0

σ(t-t0)

σ (t-t0) s"(t)

	-s(t0)		s(t0)
∫			-1

s"(t)

s(t)	d
	dt

Рисунок1.7 − Модификацииструктурныхсхем,соответствующие преобразован(1и(.ям15).16)

	Путеманалогичныхоперацийопределяскоросизмсиетненияься			г-
налавпр	оизвольнойточке.Возможныразличнформзаписиинтыеграла
взаимодействиясигнала		δ – функциисцельюопределенияскорости:
		∞
		∫sʹ(t) δ (t − t0 ) dt = sʹ(t0 ) ;		(1.17)
	∞	−∞	∞
	∫s(t)δ ʹ(t − t0 )dt = −		∫sʹ(t)δ (t − t0 )dt − sʹ(t0 ) .	(1.18)
	−∞		−∞
	Структусхемы,формеализующиеныеьно		необходимлинейные
операции,изображенынарисунке1.8

δ(t)	d	δʹ (t)	t0	δʹ (t-t0)
	dt

δʹ (t-t0) s(t)	∫	-sʹ (t0)		-1	sʹ (t0)

а)

s(t)

δ(t)	t0	δ(t-t0)
б)
		s(t)

δ (t-t0) sʹ (t)

sʹ (t)

d

dt

∫	sʹ (t0)

Рисунок1.8 − Дваспопределениясобаскоростиизменениясигнала вточке t0:а)синверсиб)без ейрсии

Таблица1.2

– Праввзаиобобщенламодействфункцсигниыхаламийя

№

Описаниепреобразования

Математическоеописаниепреобразования

δ -функции

п/п

∞, t = 0,

Определение δ

δ (t) =

1

– функцииедин чного

0, t ≠ 0.

скачка

t

1, t > 0,

σ (t) = ∫ δ (t)dt =

−∞

0, t < 0.

∞

2

Нормировка δ – функции

∫δ (t)dt = 1

−∞

3

Сдвиг δ – функциивовремени

0, t ≠ t0

δ (t − t0 ) =

∞, t = t

0

18

1

t0

4

Изменениеасштабаврем ни

δ (at − t0 ) =

δ t −

a

a

5

Умножениесигнала

на δ – функцию

s(t)δ (t) = s(0)δ (t)

s(t)δ (t − t0 ) = s(t0 )δ (t − t0 )

t2

∫ s(t)δ (t)dt = s(0)

t1

Взаимодействиесигнала

s(t) и δ – функции;

t2

6

∫ s(t)δ (t − t0 )dt = s(t0 )

t1 < t < t2

t1

t2

∫δ (τ − t)δ (τ − t0 )dτ = δ (t − t0 )

t1

7

Дифференцирование δ – функции

δ ʹ(t − t0 ) = 0, t ≠ t0

t2

t2

∫ s(t)δ ʹ(t)dt = − ∫ sʹ(t)δ (t)dt = − sʹ(0)

s(t) ипроизводных

t1

t1

8

Взаимодействиесигнала

t < t < t

от δ – функции;

2

t2

t2

1

t∫2 s(t)δ ʹ(t − t0 )dt = − ∫ sʹt(2t)δ (t − t0 )dt = − sʹ(t0 )

n

(n)

t

(n)

t

n

∫ s

(n)

(t)δ (t − t0 )dt =(−1)

s

(t0 )

∫1 s(t)δ

(t − t0 )dt =(−1)

t1

t1

∞

∞

Взаимодействиесигнала

s(t) ифункции

∫ s(t)σ (t)dt = ∫ s(t)dt

9

−∞

0

Хевисайда;

0 < τ < t

∞

t

∫ s(τ )σ (t −τ )dτ = ∫ s(τ )dτ

−∞

−∞

∞

∞

s(0) = ∫ s(t)σ ʹ(t)dt = − ∫ sʹ(t)σ (t)dt

−∞

−∞

10

Взаимодействиесигнала

s(t) ипроизводной

отфункцХевии

сайда;

0 < τ < t

∞

∞

s(t0 ) =∞ ∫ s(t)σ ʹ(t − t0 )dt =∞− ∫ sʹ(t)σ (t − t0 )dt

−∞

−∞

s(t) = ∫ s(τ )σ ʹ(t − τ )dτ = ∫ sʹ(τ )σ (t − τ )dτ

−∞

−∞

19