Современные технологии и системы автоматизированного измерения на СВЧ

Амплитуды напряжения и тока (верхний рисунок) и реактивное входное сопротивление (нижний рисунок) в ЛП, нагруженной на индуктивность

Распределение в линии, нагруженной на активное сопротивление, не равное волновому

Пусть Zв = Rв , Zн = Rн ¹ Rв . Как следует из (14.8.4), при Rн > Rв коэффициент отражения

Γ будет вещественным положительным числом и, как следует из (14.9.1), распределение модуля напряжения вдоль линии:

	&	=	&	(0)	×	1+ 2rcos 2bz + r		2	,		(14.12.1)
	U (z)		Uпад
а при Rн < Rв Γ будет вещественным отрицательным числом и
											(14.12.2)
	&	=	&	(0)	×	1- 2rcos 2bz + r		2	.
	U (z)		Uпад
Назначим какое-либо 0 < ρ < 1 и построим зависимость											(рис. 14.12.1). Имеет место ре-
										&
										U (z)

жим смешанных волн, на конце линии достигаются экстремумы: пучность напряжения и узел тока при Rн > Rв , пучность тока и узел напряжения – при Rн < Rв .

51

Амплитуды напряжения в ЛП, нагруженной на активное сопротивление

Распределение фазы вдоль нагруженной линии

В стоячей волне той или иной глубины, образованной интерференцией падающей и отраженной волн, вдоль линии меняется не только амплитуда, но и фаза. Рассмотрим этот вопрос на примере напряжения в ЛП без потерь. Запишем первую формулу в (14.6.3) в другом виде:

&

&

iβz

+ Γe

−iβz

&

iβz

(1

+ Γe

−2iβz

) =

U (z) = Uпад (0)(e

) = Uпад (0)e

&

iβz

(14.13.1)

= Uпад

(0)e

[1+ ρ cos(2βz − ψн ) − iρ sin(2βz − ψн )].

Отсюда получаем фазу полного напряжения как аргумент комплексного числа:

ϕ(z) = βz − arctg

ρsin(2βz-ψн )

.

(14.13.2)

1+ ρ cos(2βz − ψн )

Учитывая соотношение λл

= 2π / β , для случая резистивной нагрузки ( ψн = 0 ) найдем:

ϕ(z) =

2πz

− arctg

ρsin(4πz/λл )

.

(14.13.3)

λл

1+ ρ cos(4πz / λ

л )

Рис. 14.13.1 иллюстрирует это соотношение для нескольких значений ρ . При ρ =0 отраженной волны нет и из (14.13.3), как и следовало ожидать, получаем ϕ(z;ρ = 0) = 2πz / λл . По мере роста

ρ кривые становятся все более нелинейными, при ρ =1 график переходит в «ступеньку»:

0,	0 ≤ z ≤ λл	/ 4;
ϕ(z) =	λл / 4 < z ≤ λ		(14.13.4)
π,			л / 2,

т. е. при переходе через узел фаза скачком изменяется на π .

52

Фаза полного напряжения в ЛП при различных значениях модуля коэффициента отражения ρ

53

ПАРАМЕТРЫ РАССЕЯНИЯ

Классические матричные описания линейных многополюсников

Линейный многополюсник

Концепция 2n - полюсников хорошо известна [10.1, 10.2] и изложена в любом стандартном учебнике по радиотехническим цепям или радиотехнике. Этот подход позволяет абстрагироваться от конкретной схемы и внутреннего устройства цепи и использовать некие общие параметры 2n -полюсника, связь между которыми и есть искомые характеристики.

Токи и напряжения в трехпортовой цепи

Многополюсники ( n -портовые цепи) разделяются на линейные и нелинейные. Далее рассматриваются только линейные многополюсники. Это понятие синонимично понятию линейная цепь. В традиционных представлениях многополюсников первичными параметрами возбужденного 2n -полюсника являются n выходных токов ik , k = 1,..., n , и n вы-

ходных напряжений uk , k = 1,..., n ; ниже специально для диапазона СВЧ будет введена другая система первичных параметров. Пока нет необходимости конкретизировать вид математического описания токов и напряжений как первичных параметров (действительные величины, комплексные величины), их зависимость от времени и т. п.

Разбиение первичных параметров на группы А и В

На рис. 10.1.1 показан 6-полюсник (3-портовая цепь) с произвольно выбранными положительными направлениями токов и напряжений. Разделим 2n первичных параметров на две группы по n параметров в каждой (необязательно, чтобы в одной группе были только токи, а в другой – только напряжения, а поэтому необязательно, чтобы параметры одной группы имели одинаковую размерность). Обозначим одну из групп буквой А, другую – буквой В.

Матричное соотношение групп параметров

В силу линейности многополюсника, первичные параметры связаны только линейными соотношениями друг с другом, а из законов Кирхгофа следует, что независимых из этих соотношений ровно n . Удобно эти соотношения записать в виде выражений каждого параметра группы В со всеми параметрами группы А. Единственный линейный оператор в конечномерном n -мерном пространстве – квадратная матрица порядка n . Поэтому систему искомых соотношений между первичными параметрами 2n -полюсника можно записать в виде:

54

		b = Ma ,	(10.1.1)
где a = { ai }	–	n -мерный вектор-столбец, составленный из параметров группы А;
b ={bi }	–	n -мерный вектор-столбец, составленный из параметров группы В;
M = {Mij }		– матрица (n × n) с элементами необязательно одинаковой физической

размерности.

Будем называть эту матрицу характеристической. Подчеркнем, что матрица M получилась квадратной вследствие равенства числа n параметров в каждой группе числу n независимых линейных соотношений между параметрами.

В расписанном виде равенство (10.1.1) имеет вид:

b1 = M11a1 + M12 a2 + ... + M1n an b2 = M 21a1 + M 22a2 + ... + M 2n an

..................................................

..................................................

bn = M n1a1 + M n 2 a2 + ... + M nn an

Уравнения этой системы называются основными уравнениями теории многополюсников. Коэффициенты системы основных уравнений, т. е. элементы M ij , i, j = 1...n матрицы M

составляют систему вторичных параметров многополюсника, описывающую его свойства в рамках концепции многополюсников.

В зависимости от разбиения первичных параметров на группы А и В, физический смысл (и размерности) систем вторичных параметров получаются разными, и в этом смысле системы вторичных параметров имеют разные представления. Всего, без учета перестановок элементов в группах, поскольку они не имеют принципиального значения, возможны

	C22n	=		(2n)!		= n(2n	-1)
				×(2n - 2)!
		2
разбиения на группы А и В ( C s	– число сочетаний из k						по s , знак «!» обозначает факто-
k

риал), столько же возможно разных по физическому смыслу систем вторичных параметров и соответствующих им характеристических матриц. Как видим, уже при n = 2 (четырехполюсник) число таких матриц равно 6 (см. табл. 10.1.1 [10.1]), и с ростом n быстро возрастает.

Система вторичных параметров многополюсника

Таблица 10.1.1

Четырехполюсник ( n = 2 ). Варианты разбиения первичных параметров на группы А и В и матричного представления вторичных параметров

Варианты		1		2	3		4		5	6
Множ-во А	u1	, u2	i1	, i2	u1	, i1	u2	, i2	i1 , u2	u1 , i2
Множ-во В	i1	, i2	u1	, u2	u2	, i2	u1	, i1	u1 , i2	i1, u2
					55

Обозн-ние мат-цы	Y	Z	B	A	H	F

Однако на практике используются не все варианты характеристических матриц, а лишь те, что предоставляют некоторые удобства в тех или иных ситуациях. Понятно, что характеристические матрицы разных видов взаимно-однозначно связаны друг с другом.

Наиболее популярные классические системы параметров (z, y, a, h)

Комплексные амплитуды токов и напряжений в двухпортовой цепи

Мотивы выбора классических систем

Обратимся для простоты рассмотрения к случаю четырехполюсника (двухпортовой цепи), n = 2 (рис. 10.1.2). Классическая система первичных параметров в этом случае состоит из двух напряжений и двух токов, матрица M – (2 х2), система вторичных параметров также включает 4 элемента, возможны 6 вариантов характеристической матрицы (табл. 10.1.1), наиболее часто в практике конструирования и измерения используются 4 из них:

Система z -параметров составляет матрицу Z = { zij } , i, j = 1, 2 , все параметры имеют

размерность сопротивления (в общем случае – комплексного), система основных уравнений имеет вид:

u1 = z11 z12 i1 .u2 z21 z22 i2

Система y -параметров составляет матрицу Y ={ yij } , i, j = 1, 2 , все параметры имеют

размерность проводимости (в общем случае – комплексной), система основных уравнений имеет вид:

i		=	y	y	u
1			11	12	1	.
i2			y21 y22 u2
Система a -параметров составляет матрицу A = {aij } , i, j = 1, 2,							система гибридна, т.
е. параметры имеют разную размерность:			a11	и a22 безразмерны, a12			имеет размерность

сопротивления, a21 – проводимости. Система основных уравнений имеет вид:

56

u1		a11		a12		u2
i		= a	21	a	22	−i		.
1							2

Система h -параметров составляет матрицу H = {hij } , i, j = 1, 2, система гибридна: h12

и h21 – безразмерны, h11 имеет размерность сопротивления, h22 – проводимости. Система основных уравнений имеет вид:

u1 = h11 h12 i1i2 h21 h22 u2 .

Выбор для использования той или иной характеристической матрицы мотивируется удобством решения поставленной задачи (например, конструирование усилителей, генераторов или смесителей, и т. п.), в частности, простоты определения матрицы «сложной» схемы, составленной из более простых схем. Например [10.2], y -параметры «сложного» четырехполюсника, полученного параллельно-параллельным соединением двух «простых» четырехполюсников, просто равны суммам соответствующих параметров «простых» четырехполюсников:

i				a
		i
1		=	1
i2		ia
				2

+ ib	ya	+ yb	ya	+ yb		v
1	= 11	11	12	12		1	,
+ ib	ya	+ yb	ya	+ yb	v2
2	21	21	22	22

т. е. Y -матрица «сложного» четырехполюсника равна сумме Y -матриц «простых» четырехполюсников:

Y = Ya + Yb .

Аналогичным образом, при последовательно-последовательном соединении четырехполюсников складываются z -параметры, при последовательно-параллельном – h - параметры. При каскадном соединении четырехполюсников A -матрицы каскадов перемножаются, т. е.

A = Aa Ab ,

этот факт часто является весомым аргументом применения a -параметров на определенном этапе конструирования.

Вследствие взаимно-однозначной связи одной характеристической матрицы с другой, в каждой ситуации достаточно измерить только элементы одной матрицы. Например, z -параметры и y -параметры связаны матричным соотношением

Y = Z−1 .

Смысл и измерение классических вторичных параметров многополюсников

Соотношения комплексных амплитуд в классических системах

Обратимся к важному вопросу о принципиальной возможности измерения вторичных параметров цепи. Для упрощения рассуждений, не ограничивая общности ответов, в качестве многополюсников рассматриваем четырехполюсники, а первичные параметры (токи и напряжения) считаем монохроматическими, в комплексном представлении. Сократив члены вышеприведенных основных уравнений на множитель exp(iωt) , получаем выражения через комплексные амплитуды токов и напряжений:

∙ для системы z -параметров:

57

&	&	&
U1	= z11I1	+ z12 I2	(10.2.1)
&	&	&
U2	= z21I1	+ z22 I2

∙для системы y -параметров:

&	&	&
I1	= y11U1	+ y12U2	(10.2.2)
&	&	&
I2	= y21U1	+ y22U2

∙для системы a -параметров:

&	&	&
U1	= a11U2	− a12 I2	(10.2.3)
&	&	&
I1	= a21U2	− a22 I2

∙для системы h -параметров:

&	&	&
U1	= h11I1	+ h12U2	(10.2.4)
&	&	&
I2	= h21I1	+ h22U2

Необходимость измерений в режимах ХХ и КЗ

Обратимся к z -параметрам (см. систему (10.2.1)). Пусть порт 2 работает в режиме холостого хода (ХХ), тогда I&2 = 0 и из первого уравнения системы (10.2.1) следует:

	U
	=	&
z11		1		,
		&
		I1	ХХ

на порте 2

а из второго уравнения той же системы:

	U
	=	&
z21		2		.
		&
		I1	ХХ

на порте 2

Пусть теперь порт 1 работает в режиме холостого хода (ХХ), тогда I&1 = 0 и из первого уравнения системы (10.2.1) следует:

	U
	=	&
z12			1		,
		&
		I2		ХХ

на порте 1

а из второго уравнения той же системы:

	U
	=	&
z22			2		.
		&
		I2		ХХ

на порте 1

Полученные формулы для z -параметров можно рассматривать как выражения их физического смысла, и одновременно – как способ их измерения. Как видим, для измерения z - параметров необходимо последовательно реализовать режимы ХХ на входе и на выходе четырехполюсника.

58

Обратимся к y -параметрам (см. систему (10.2.2)). Пусть порт 2 работает в режиме

&	=0 и из первого уравнения системы (10.2.2) следует:
короткого замыкания (КЗ), тогда U2
			I&1
	y11	=			,
			&
		U1		КЗ

на порте 2

а из второго уравнения той же системы:

			I&2
y21	=						.
			&
	U1				КЗ
					на порте 2
Пусть теперь порт 1 работает в режиме КЗ, тогда						&	= 0	и из первого уравнения системы
						U1
(10.2.2) следует:
			I&
y12	=		1				,
			&
	U2				КЗ

на порте 1

а из второго уравнения той же системы:

y22

	I&2
=				.
	&
U		2	КЗ

на порте 1

Полученные формулы для y -параметров можно рассматривать как выражения их физического смысла, и одновременно – как способ их измерения. Как видим, для измерения y - параметров необходимо последовательно реализовать режимы КЗ на входе и на выходе четырехполюсника.

Аналогичным образом находим для системы a -параметров:

U1

I1

U1

I1

&

&

&

&

a11 =

,

a21 =

,

a12

= −

,

a22

= −

,

&

&

&

&

U

2 ХХ

U2

ХХ

I2

КЗ

I2

КЗ

на порте 2

на порте 2

на порте 1

на порте 1

и для системы h -параметров:

I2

U1

I2

U1

&

&

&

&

h11

=

, h21 =

,

h12

=

,

h22

=

.

&

&

&

&

I1

КЗ

I1

КЗ

U2

ХХ

U2

ХХ

на порте 2

на порте 2

на порте 1

на порте 1

Подведем итог, справедливый для всех классических систем вторичных параметров четырехполюсников, находящихся под воздействием монохроматических колебаний: вторичный параметр находится как отношение комплексных амплитуд токов и (или) напряжений в режиме ХХ или КЗ одного из портов. Этот вывод распространяется и на вторичные параметры 2n -полюсников при n > 1 : вторичный параметр находится как отношение комплексных амплитуд токов и (или) напряжений в режиме ХХ и (или) КЗ на n −1 портах.

Мотивы введения параметров рассеяния

Трудности измерения классических параметров на СВЧ

На сверхвысоких частотах классические вторичные параметры очень трудно измерять по следующим причинам:

А) Для СВЧ-сигналов очень трудно реализовать режимы короткого замыкания и холостого хода из-за паразитных емкостей и индуктивностей.

59

Б) Измерения токов и напряжений в схеме на СВЧ требуют подстроечных отводов, отдельно отрегулированных на каждой частоте (что исключает измерения в режиме автоматического сканирования частоты), чтобы отобразить необходимые режимы.

В) В активных приборах, таких как транзистор или диод с отрицательным сопротивлением, режимы ХХ и КЗ часто вызывают неустойчивую работу и даже осцилляции.

Принципиальные отличия параметров рассеяния от классических систем

Для решения этих проблем, на сверхвысоких частотах вместо классических систем вторичных параметров используются параметры рассеяния ( s -параметры), которые связаны не с режимами холостого хода и короткого замыкания, а с падающей и отраженной мощностями. Преимущество использования параметров рассеяния в том, что поскольку они связаны с падающей и отраженной мощностями, они не меняют своего значения вдоль передающей линии без потерь. Это означает, что параметры рассеяния могут быть измерены на приборе, находящемся на некотором расстоянии от точки измерения. К тому же, параметры рассеяния измеряются в условиях импедансного согласования, поэтому обходят осцилляции нестабильности в измерениях на активных приборах.

Сначала заметим, что параметры рассеяния как система вторичных параметров многополюсника принципиально отличаются от классических систем вторичных параметров тем, что для первых первичными параметрами являются уже не токи и напряжения на вы-

ходных контактах, как для вторых, а падающие (входящие) и отраженные (выходящие)

волны на этих контактах (разъемах).

Параметры рассеяния первоначально пришли из теории линий передачи, и наиболее простой и прозрачный способ их введения основан на представлении цепи СВЧ как сочленения линий передачи. Такое представление цепи удобно при рассмотрении многих вопросов векторного анализа цепей. Однако на самом деле параметры рассеяния имеют более общий смысл некоторых параметров мощности, более конкретно – коэффициентов линейных соотношений между волнами мощности, концепцию которых и связанное с ними обобщенное представление параметров рассеяния развил Курокава [10.3].

Параметры рассеяния (коэффициенты рассеяния) были вначале упомянуты Кэмбеллом и Фостером [10.4] в 1920 г., применительно еще к телефонным цепям; затем уже были использованы в задачах микроволновой техники и микроволновых линий передачи [10.5, 10.6], а также в общей теории цепей [10.7]. Они естественно возникали в физической интерпретации решений стандартных дифференциальных уравнений линии передачи для напряжения и тока как функций дистанции.

Вначале введем эти параметры наиболее простым способом, затем несколько обобщим трактовку.

Смысл и измерение параметров рассеяния

Нормализация токов и напряжений

Многополюсник почти всегда можно рассматривать как сочленение линий передачи (вопрос, собственно, в том, можно ли рассматривать связи многополюсника с остальной частью устройства как длинные линии, например, достаточно ли они длинные для затухания «лишних» мод, и т. п.). Для данного типа монохроматической волны распределение поперечных составляющих напряженности электрического поля в любом сечении однородной линии передачи одинаково (с точностью до амплитуды) [10.8]. Мощность P , переносимая падающей волной в однородной линии без потерь равна

60