Эконометрика.-1

Но при этом, конечно, следовало увеличить объем выборки n , так как надежность статистических выводов существенно зависит от отношения объема выборки n к общему числу всех параметров регрессионной модели: чем больше величина отношения n /( p + 1) ,тем точнее соответствующие оценки, тем надежнее статистические выводы.

[Заголовок 1] 9. Тест Чоу [.]

Задача 1. По данным табл.9.1, используя критерий Г.Чоу, выяснить, можно ли считать одной и той же линейную регрессию Y по X для юношей и девушек.

Табл.9.1 – Исходные данные

№	Число решенных		Пол	№	Число решенных		Пол
студента	задач		студен	студента	задач		студент
			та				а
i	xi	yi		i	xi	yi
1	10	6	муж.	7	6	3	жен.
2	6	4	жен.	8	7	4	муж.
3	8	4	муж.	9	9	7	муж.
4	8	5	жен.	10	6	3	жен.
5	6	4	жен.	11	5	2	муж.
6	7	7	муж.	12	7	3	жен.

Решение. По n1 =6 парам наблюдений ( xi , yi ) для юношей— (10;6),

(8;4), (7;7), (7;4), (9;7), (5;2) (1-ая выборка) и по n2 = 6 парам наблюдений для девушек—(6;4), (8;5), (6;4), (6;3), (6;3), (7;3) (2-ая выборка) рассчитаем уравнения регрессии:

)	+ 0,783x	(äëÿ	1 − é	âû áî ðêè );
y = −1, 000
)	+ 0,571x	(äëÿ	2 − é	âû áî ðêè ).
y = −0, 048

41

По всем n = n1 + n2 =12 парам наблюдений рассчитаем уравнение регрессии для объединенной выборки:

y = −1, 437 + 0,815x .

Так как вычисленное по (7.4) значение

F = 0, 21 < F0,05;2;11 = 4, 46 ,

то влияние фактора «пол» несущественно, и в качестве оценки регрессионной модели Y по X можно рассматривать уравнение регрессии, полученное по объединенной выборке.

Задача 2. В таблице 9.2 приведены данные о зависимости потребления шоколада в неделю ( y ) от дохода ( x ). Нужно определить, можно ли объединить выборки для мужчин и женщин.

Табл.9.2 Исходные данные

Пол	ж	ж	ж	ж	ж	ж	м	м	м	м	м	м
y	6	4	7	4	7	2	4	5	4	3	3	3
x	10	8	7	7	9	5	6	8	6	6	6	7

Решение. С помощью метода наименьших квадратов находим оценки параметров и функции регрессии для трех выборок 1) женщин:

)

yæ åí = −1 + 0,783x

2) мужчин:

)

yæ åí = 0,571 − 0,048x

3) объединенной:

)	= 0,815 − 1, 436x .
yæ åí
	)	)
Найдем значения квадратов случайных остатков ε		= y − yæ åí .

1) функции регрессии выборки женщин (табл.9.3)

Табл.9.3 Расчет значений квадратов случайных остатков

42

x				10				8				7		7				9				5
y				6				4				7		4				7				2
)
yæ åí				6,826				5,261				4,478		4,478				6,043				2,913
ε				-				-				2,522		-				0,956				-
				0,826				1,261						0,478								0,913
)	2			0,682				1,590				6,360		0,229				0,915				0,834				∑ =
ε
																										10,609
	2)		функции регрессии выборки мужчин (табл.9.4)
												Табл.9.4 Расчет значений квадратов случайных остатков
x					6				8			6			6				6				7
y					4				5			4			3				3				3
)
yì óæ					3,381				4,524			3,381			3,381				3,381				3,952
ε					0,619				0,476			0,619			-				-				-
															0,381				0,381				0,952
)	2				0,383				0,227			0,383			0,145				0,145				0,907				∑ =
ε
																										2,190
	3)		функции регрессии общей выборки (табл. 9.5)
												Табл.9.5 Расчет значений квадратов случайных остатков
x			10			8				7			7	9			5			6				8			6		6			6	7
y			6			4				7			4	7			2			4				5			4		3			3	3
)
yî áù			6,7			5,0				4,2			4,2	5,8			2,6			3,4				5,0			3,4		3,4			3,4	4,2
			09				80			65			65	95			36				51			80			51		51			51	65
ε			-				-						-				-							-					-			-	-
			0,7			1,0				2,7			0,2	1,1			0,6			0,5				0,0			0,5		0,4			0,4	1,2
			09				80			35			65	05			36				49			80			49		51			51	65
)	2																																	∑
ε
																																		=
																																		13,4
			0,5			1,1				7,4			0,0	1,2			0,4			0,3				0,0			0,3		0,2			0,2	1,6	62
			03				66			78			70	22			05				02			06			02		03			03	01

43

Вычислим F - статистику:

			n	n1	n
			∑εi2 − ∑εi2 − ∑			εi2 (n − 2 p − 2)
				i=1	i=n1
	F =	i=1						=
				n1	n
				∑εi2 + ∑εi2 (p + 1)					.
					i=n1
			i=1
	(13, 462 − 10, 609 − 2,190)(12 − 2 1 − 2)						= 0, 207
			(10, 609 + 2,190)(1 + 1)
Т.к.			условие		F > Fα ; p+1;n−2; p−2 (= 4, 46),				не выполняется, то две

регрессионные модели можно объединить в одну, следовательно, выборки мужчин и женщин можно рассматривать как одну выборку.

[Заголовок 1] 10. Мультиколлинеарность [.]

Задача 1. В таблице 10.1 представлены данные о квартирах на рынке недвижимости. Найти оценки неизвестных параметров. Определить индекс детерминации. Выполнить тест на мультиколлинеарность.

Табл.10.1 Исходные данные

Адрес	Цена,	Кол-во	Общая	Отделка	Год
	тыс.руб.	комнат	площадь	(0-	постройки
				черновая,
				1- есть)
Интернационалистов
ул, 29	3950	4	80	1	1976
Урожайный пер, 30	2050	1	35	1	2009
Ленина пр-кт, 126	2250	1	38	1	2004
Мира пр-кт, 33	5500	5	100	1	1988
Профсоюзная ул, 7	1270	1	26	0	2014
Интернационалистов
ул, 6	1680	1	30	1	1982
					44

Ленская ул, 47	2690	2	57	1	2008
Розы Люксембург
ул, 101	2200	1	38	1	2008
Профсоюзная ул, 7	1290	1	31	0	2014
Дербышевский пер,
26а	2800	2	50	1	1993
Профсоюзная ул, 7	1520	1	35	0	2014
Карла Ильмера ул,
21	2500	2	54	1	1983
79-й Гвардейской
Дивизии, 20	2650	2	54	1	1978
Смирнова, 23	1900	2	44	1	1962

Решение. Запишем исходные данные в матричном виде:

Y := ( 3950 2050 2250 5500 1270 1680 2690 2200 1290 2800 1520 2500 2650 1900)T

1		4	80	1	1976
	1	1	35	1	2009
1		1	38	1	2004
1		5	100	1	1988
	1	1	26	0	2014
1		1	30	1	1982
	1	2	57	1	2008
X :=
1		1	38	1	2008
	1	1	31	0
					2014
	1	2	50	1	1993
1		1	35	0	2014
1		2	54	1	1983

1 2 54 1 1978

1 2 44 1 1962

45

С помощью метода наименьших квадратов находим оценки:

Q :=	(	T	)− 1	T		Y
		X	X	X
				4
		−3.45 × 10
		597.58
Q =		17.658
		753.483
		17.241

Вычислим оценки y:

j := 0, 1.. 13

ymj := Q0 + Q1 Xj , 1 + Q2 Xj , 2 + Q3 Xj , 3 + Q4 Xj , 4

		0
	0	4.122·103
	1	2.104·103
	2	2.071·103
	3	5.28·103
	4	1.278·103
	5	1.55·103
ym =	6	3.073·103
	7	2.14·103
	8	1.366·103
	9	2.69·103
	10	1.437·103
	11	2.589·103
	12	2.502·103
	13	2.05·103

По формуле вычислим индекс детерминации

			Sî ñò		Sî ò êë		)
R	2	= 1 −		=		=	∑( y − y)	2
			Sî áù		Sî áù		∑( y − y)	2

46

		13
		∑	Yi
ys :=	i = 0
		14

ys = 2.446× 103

13

Sot := ∑ (ymi − ys )2 i = 0

13

Sob := ∑ (Yi − ys )2 i = 0

R := Sot

Sob

R = 0.978

Для выявления мультиколлинеарности вычислим vif. Построим уравнение регрессии

xi(1) =α0 +α2 xi(2) +α3xi(3) +α4 xi(4)

Вычислим оценки неизвестных параметров:

Y1 := ( 4 1 1 5 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 )T

1	80	1	1976
1	35	1	2009
1	38	1	2004

1 100 1 1988

1 26 0 2014

1		30	1	1982
	1	57	1	2008
X1 :=
1		38	1	2008
	1	31	0
				2014
	1	50	1	1993
1		35	0	2014
1		54	1	1983

1 54 1 1978

1 44 1 1962

Q1 :=	(	T	)− 1	T	Y1
		X1	X1	X1
		23.44
Q1 =		0.058			47
	−0.486
		−0.012

Вычислим вектор оценок результирующей переменной:

j := 0, 1.. 13

ym1j := Q10 + Q11 X1j , 1 + Q12 X1j , 2 + Q13 X1j ,3

		0
	0	3.854
	1	0.827
	2	1.063
	3	4.879
	4	0.727
	5	0.86
ym1 =
	6	2.125
	7	1.015
	8	1.019
	9	1.897
	10	1.253
	11	2.251
	12	2.311
	13	1.919

Наконец, определим vif:

		13
		∑	Y1i
ys1 :=	i = 0
		14

ys1 = 1.857

13

Sot1 := ∑ (ym1i − ys1 )2 i = 0

13

Sob1 := ∑ (Y1i − ys1 )2 i = 0

R1 := Sot1

Sob1

R1 = 0.979

1

vif1 :=

(1 − R1)

vif1 = 46.861

48

Т.к. полученное значение больше 10, то в модели наблюдается мультиколлинеарность.

[Заголовок 1] 11. Процедура отбора существенных факторов [.]

Задача 1. По данным таблицы 11.1 выполнить отбор наиболее существенных факторов с помощью процедуры пошагового отбора.

Табл.11.1 Исходные данные

№ заемщика	Просрочки	Стаж,	лет	Срок кредита,	Сумма
	кредита (шт.),	(X1)		мес. (X2)	кредита, руб.
	(Y)				(X3)
1	0	7,5		12	170 000
2	0	4,5		12	120 000
3	0	6,5		12	85 000
4	1	2,5		12	160 000
5	1	3,5		24	105 000
6	0	6,5		12	90 000
7	3	2		24	80 000
8	2	3,5		24	395 000
9	2	6		36	150 000
10	4	2		60	70 000

Решение.

Шаг 1. Вычислим квадрат коэффициента корреляции зависимой переменной с каждой объясняющей переменной:

49

n

n

n

n

x y −

x

y

σ x

∑ i

i

∑ i

∑ i

r = Θ

=

i=1

i=1

i=1

,

1 σ y

n

n

2 n

n

2

n∑xi2

n∑yi2

−

∑xi

−

∑yi

i=1

i=1

i=1

i=1

ryx2 1 = 0,5204 ,

ryx2 2 = 0,7582 ,

ryx2 3 = 0,0003.

Из объясняющих переменных

x(1) − x(3) выделяется переменная

x(2) ,

имеющая с зависимой переменной Y наибольший коэффициент

детерминации

R2

(равный для парной модели квадрату коэффициента

корреляции r ). Очевидно, это переменная x(2) ,

так

как

коэффициент

детерминации

R2

= r

2 = 0,7582 -максимальный. С

учетом

поправки на

yx

yx

2

2

несмещенность

скорректированный

коэффициент

детерминации

)

n − 1

10 − 1

Ryx2 = 1 −

(1 − R2 ) = 1 −

(1 − 0, 7582) = 0, 728 .

n − m

2

10 − 2

Шаг 2.

Среди

возможных

пар

объясняющих

переменных

x(2) ,

x( j) , j = 1,3 , выбирается пара, имеющая с зависимой переменной Y наиболее высокий коэффициент детерминации.

Рассмотрим пару ( x(2) , x(1) )

				)			− 0, 2792x(1) + 0,0627 x(2) . Вычисление
	Уравнение регрессии: y = 1,1124
	данных для расчета индекса детерминации приведено в табл. 11.2.
		Табл.11.2 Вычисление данных для расчета индекса детерминации
	Просрочки		Стаж, лет		Срок		Y		)
									(Y − Y )2			(Y − Y )2
	кредита		(X1)		кредита,
	(шт.), (Y)				мес. (X2)
	0		7,5		12		-0,2290		0,0524			1,6900
	0		4,5		12		0,6086		0,3704			1,6900

50