Твердотельная электроника.-3

176

В случае рекомбинационных ловушек одного типа время жизни носителей возрастает с увеличением температуры. Это связано с тем, что при увеличении температуры уровень Ферми смещается ближе к середине запрещенной зоны, и вероятность захвата электронов на ловушки с последующей рекомбинацией уменьшается, т.е. вызывает рост t .

5. Dn , Dp - коэффициенты диффузии электронов и дырок,

éсм2 ù êë с úû .

Если в полупроводниковом материале существует градиент концентрации носителей, например, электронов, то возникает

диффузионный поток Фn . Величина этого потока определяется

градиентом концентрации
Фn = -Dn grad n	(2.11)
Коэффициент пропорциональности между Фn и grad n на-
зывается коэффициентом	диффузии Dn . Численное значение

коэффициента диффузии показывает число частиц, проходящих через единичную площадку (например, 1 см2), расположенную перпендикулярно вектору потока, за единицу времени.

6. Ln , Lp - длина диффузионного смещения, [см].

Если в полупроводнике существует градиент концентрации, то носители перемещаются в сторону уменьшения концентрации. При этом за счет процессов рекомбинации концентрация избыточных носителей уменьшается не только во времени, но и в пространстве по экспоненциальному закону

	Dn(x )= Dn(0 )exp-	x	(2.12)
		Ln

Тогда под длиной диффузионного смещения Ln понимает-

ся расстояние, на котором концентрация носителей уменьшается в e раз.

Типичные значения Ln, p составляют 10-3-10-1 см.

177

Перечисленные выше параметры (m,t, L, D)связаны между собой следующими соотношениями

D

=

kT

m

n

n

q

- соотношение Эйнштейна;

(2.13)

kT

Dp

=

mp

q

Ln

=

,

Lp =

(2.14)

Dntn

Dpt p

Данные соотношения широко используются при решении

многих задач твердотельной электроники.

Величина

kT

называется тепловым потенциалом. Он равен

q

0,0258 В. при 300 К

7. ni - собственная концентрация носителей, [см-3].

В собственном полупроводнике, зонная диаграмма которого приведена на рис. 2.4., свободные электроны и дырки могут появиться только за счет перехода определенной части электронов из валентной зоны в зону проводимости. При этом в валентной зоне образуется такое же количество свободных дырок. Количество свободных носителей зависит от температуры и ширины запрещенной зоны полупроводника.

ni

Ес

n = p = ni

T = const

Еi » ЕF

Еv

Рисунок 2.4. Зонная диаграмма собственного полупроводника

178

Таким образом, собственная концентрация носителей ni - это концентрация свободных электронов и дырок в собственном полупроводнике при заданной температуре. Численные значения ni составляют: для германия - 2,5×1013 см-3, для кремния - 1010 см-3 при Т=300 К.

8. Enp - электрическая прочность, [В/см].

Если образец полупроводника разместить между металлическими обкладками и подать на него изменяющееся пилообразное напряжение, то ток через структуру будет изменяться по закону Ома: j = sE .

Однако при некоторой напряженности поляE в полупроводнике произойдет резкое возрастание тока j (Рис. 2.5). Явле-

ние резкого возрастания тока называютпробоем, а напряженность поля, при которой происходит пробой- электрической

прочностью. Значения Enp для кремния и германия составляют

приблизительно 8×105 В/см и 3×105 В/см соответственно.

9. e - диэлектрическая проницаемость материала. Вели-

чина безразмерная.

J

Епр E

Рис. 2.5. Зависимость тока через полупроводник от напряженности электрического поля.

Характеризует материальную среду, в которой происходит перемещение носителей зарядов. eSi = 12, eGe =16, eGaAs =11.

2.3. Фундаментальная система уравнений твердотельной электроники

179

Описание физических явлений и процессов в твердотельных приборах может быть осуществлено двояко. Во-первых, они могут быть рассмотрены на качественном уровне. С другой стороны, зачастую, качественного описания процессов бывает недостаточно и требуется строгое количественное описание явлений. Кроме того, расчет параметров твердотельных приборов требует наличия значительного количества расчетных формул и соотношений. Наконец, в некоторых случаях описание процессов и явлений, происходящих в приборах, возможно только путем математического анализа моделей. Аналитическое описание физических процессов в твердотельных приборах и получение различных расчетных соотношений базируется в основном на -ис пользовании уравнений полного тока, непрерывности и Пуассона, с использованием других известных соотношений. При рассмотрении данного вопроса важно уяснить физический смысл фундаментальных уравнений твердотельной электроники.

Уравнение полного тока. Ток - это направленное движение заряженных частиц. В полупроводниках ток может протекать за счет движения двух видов заряженных частицэлектронов и дырок. Для того, чтобы заряженные частицы могли перемещаться, необходимо наличие сил, которые бы заставили частицы направленно перемещаться. В твердотельных приборах на-

правленное движение заряженных частиц осуществляется за счет действия сил электрического поля и градиента концентрации.

Ток, обусловленный движением заряженных частиц под действием сил электрического поля, называется дрейфовым. Величина дрейфового тока определяется количеством носителей и скоростью их перемещения

jnдр = qnmn E;

jpдр = qpmp E .

(2.15)

При этом надо иметь в виду, что по определению напряжен-

ность электрического поля E = - dj и вектор напряженности dx

всегда направлен от плюса к минусу. На рис.2.6 показаны направления движения электронов и дырок в электрическом поле и вектора дрейфовых токов.

180

+ -

Фn Фp

Jn Jp

Рис.2.6. Вектора потоков Ф и токов I электронов и дырок под действием электрического поля.

Диффузионный ток - ток, обусловленный направленным движением электронов и дырок за счет градиента концентрации.

Если в какой-то части кристалла полупроводника большая концентрация электронов, а в другой части их мало, то возникает диффузионный поток электронов, создающий диффузионный ток. Величина диффузионного тока определяется градиентом концентрации

jдиф = qD grad n ,
n	n
jpдиф = -qDp grad p .		(2.16)
Знак "минус" в выражении для jдифp		связан с тем, что вектора

тока и градиента направлены в разные стороны. Рис.2.7 разъясняет это утверждение.

n	Jn	p
		Jp

Фn	Ф p
grad n	grad p
х	х

Рис. 2.7. Направление векторов потоков Ф , токов и градиента для диффузии электронов и дырок.

Таким образом, физический смысл уравнения полного тока заключается в следующем: ток в полупроводниковых приборах переносится электронами и дырками, а перемещаются они под действием сил электрического поля и градиента концентрации

181

j = jn + jp = jnдр + jnдиф + jдрp + jpдиф ,
j = qnmn E + qpmp E + qDn grad n - qDp grad p .	(2.17)

Уравнение (2.17) и является уравнением полного тока. Если быть строгим, то в выражение (2.17) надо добавить еще одну компоненту тока - ток смещения, определяемый как производная по времени от вектора электрической индукции

j	=	d	(ee	0	E ).	(2.18)
см		dt

Причем, как увидим в дальнейшем, в большинстве полупроводниковых приборов на основе p - n переходов ток по своей

природе является диффузионным и для его нахождения необходимо уметь определять градиент концентрации

Как это делается, показано на рис.2.8.

grad n =	n(x1 ) - n(x2 )
		(2.19)
	Dx
	n
	n(x1)

n(x2)

Dx Х

Рис. 2.8. Определение градиента концентрации электронов.

Уравнение Пуассона. Для решения многих задач в полупроводниковой электронике используется уравнение Пуассона. Для одномерного случая оно имеет следующий вид

d 2j	= -	r(x)	,	(2.20)
dx2
		ee0

где r(x)- плотность заряда;

e0 - электрическая постоянная.

Физический смысл этого уравнения сводится к тому, что,

182

если известна плотность заряда r(x), то значение напряженности электрического поля E и потенциала j может быть опреде-

лено в любой точке пространства путем решения уравнения Пуассона при заданных граничных условиях.

Уравнение непрерывности. Величина тока в полупроводниковых приборах определяется концентрацией носителей и градиентом концентрации. При этом концентрация носителей может изменяться во времени. Характер изменения концентрации носителей во времени позволяет описывать уравнение -не прерывности. Это уравнение показывает, как и по каким причинам изменяется концентрация носителей во времени. Физический смысл уравнения можно представить следующей схемой.

éИзменение	ù
êконцентрации	ú	éпроцессы ù		éпроцессы		ù	é растеканиеù
ê	ú	= ê	ú	- ê		ú	- ê	ú
êносителей	ú	ëгенерацииû		ë	рекомбинацииû		ëтока	û
ê	ú
ëво времени	û

То есть, за счет процессов генерации концентрация носителей во времени возрастает, а рекомбинация и растекание тока приводят к уменьшению концентрации носителей.

Математически это выглядит следующим образом.

dn

= G

- R

+

1

div j

dt

n

n

q

n

(2.21)

dp

1

= G p

- Rp

-

div j p ,

q

dt

где G

=

n0

; G

=

p0

- скорости генерации;

n

t

n

p

t

p

R

=

n

; R

=

p

- скорости рекомбинации;

t

n

t

n

p

p

div jn =

dj

n

;

div jp

=

djp

- дивергенция токов.

dx

dx

Подставляя

значения Gn ,Gp , Rn , Rp , div jn , div jp в выраже-

ние (2.21), получим наиболее распространенную форму записи

183

уравнения непрерывности

dn

= -

n - n0

+

1

div jn

dt

tn

(2.22)

q

dp

= -

p - p0

-

1

div jp .

dt

t p

q

Если токи носят диффузионный характер, т.е. jn = qDn dn dx

и jp = -qDp dp , то уравнение (2.22) можно представить в виде dx

дифференциальных уравнений второго порядка

dp	= Dp	d 2 p	-	p - p0
dt		dx2		t p	(2.23)

dn	= Dn	d 2n		n - n
			-	0
dt		dx2		tn

2.4. Собственные, примесные и компенсированные полупроводники

Собственный полупроводник - это полупроводник, не содержащий примеси, либо содержащий ее в таком количестве, которое не влияет на свойства полупроводника. В собственном полупроводнике свободные электроны могут появиться в зоне проводимости только за счет их перехода из валентной зоны. При этом появление свободного электрона в зоне проводимости сопровождается появлением незанятого энергетического уровня в валентной зоне - дырки. В таком полупроводнике количество свободных электронов равно количеству свободных дырок.

Приравнивая			выражения (2.5) и (2.6) для n и p и принимая
	Ec - Ev	= E ,	получим выражение, позволяющее оценивать по-
2		i
ложение уровня Ферми в собственном полупроводнике
	EF = Ei +		kT	ln	Nv		(2.24)
			2		Nc

						184
или с учетом выражений для Nv и Nc
E		= E +	3kT	ln	m*p	.	(2.25)
			4		m*
	F	i
					n

Эти выражения показывают, что в собственном полупроводнике уровень Ферми лежит вблизи середины запрещенной зоны Ei и отклоняется от Ei в зависимости от соотношения эф-

фективных масс электрона и дырки. При mn* = m*p он лежит точ-

но посредине запрещенной зоны.

Так как n = p = ni , то можно записать с учетом того, что n × p = ni 2 .

n2	= N	N	v	exp-	DE	,	(2.26)
i	c				kT

где DE = Ec - Ev .

	Тогда	n =				exp-	DE	,	(2.27)
			N	N	v
		i	c				2kT

т.е. собственная концентрация носителей зависит от ширины запрещенной зоны полупроводника и температуры.

Подчеркивая сильную температурную зависимость ni , мож-

но записать выражение дляni , подставив в выражение (2.27) значения Nc и Nv

2		3	æ		DE ö
ni	= BT		expç	-		÷ ,	(2.28)
			è		kT ø

где B - константа, включающая в себя все параметры Nc и Nv , кроме температуры. Причем надо иметь в виду, что экспоненциальная зависимость более сильная, чем степенная, т.е. ni2 зави-

сит от температуры по экспоненциальному закону.

Схема, поясняющая появление свободных электронов и дырок в собственном полупроводнике, представлена на рисунке

2.9.

Поскольку в собственном полупроводнике концентрации

185

электронов и дырок равны, то электропроводность такого полупроводника равна.

si = qmnn + qmp p = q(mn + mp )ni .

(2.29)

Ес

n = p = ni

ЕF » Еi

Еv

Рис. 2.9. Схема, поясняющая появление свободных элктронов и дырок в собственном полупроводнике

Примесные полупроводники - это полупроводники, в кото-

рые введена примесь. В зависимости от того, какая примесь вводится в полупроводник, они подразделяются на электронные и дырочные. Рассмотрим, как образуется электронный полупроводник на примере основных материалов электроникигермания или кремния.

n - тип (электронный, донорный). Если в беспримесный полупроводник ввести примесь с валентностью на единицу большую валентности основного вещества, т.е. элемент пятой группы таблицы Менделеева(поскольку германий и кремний четырехвалентные элементы), то происходит следующее. Четыре валентных электрона атома основного вещества объединяются с четырьмя валентными электронами атома примеси и создают устойчивую электронную оболочку. При этом один электрон атома примеси оказывается незадействованным в этой сильной связи, и он слабо связан с атомом примеси. При наличии внешних воздействий, например температуры, слабосвязанный электрон может оторваться от атома примеси и стать свободным. Такой электрон, свободно перемещаясь по кристаллу, создает электронный тип проводимости. Поэтому такие полупроводни-

ки называют электронными или полупроводникамиn - типа проводимости. Акт отрыва слабосвязанного электрона от атома