3 курс, ЦЗОПБ,КР1

_{ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ}

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

Московский технический университет связи и информатики

Кафедра теории электрических цепей

Контрольная работа № 1

Выполнил: студент 2-го курса ЦЗОПБ группы№

Шифр: Вариант№

Проверил:

Москва 2020 г.

Задание №1.

Контрольная работа №1.

Вариант.

1. Изобразить электрическую схему согласно выбранномуварианту.

2. Записать значения параметров элементовсхемы.

3. Задать предполагаемые направления векторов токов в ветвяхсхемы.

4. Записать систему уравнений по первому и второму законамКирхгофа.

5. Рассчитать с помощью Mathcad значения токов вцепи.

6. Рассчитать значения токов в ветвях, используя метод узловыхуравнений.

7. Рассчитать значение тока в ветви с элементом R5, используя метод эквивалентного генератора напряжения или метод эквивалентного генератора тока (навыбор)

8. Выполнить проверку расчетов, рассчитать баланс мощностей. Решение:

Рис. 1 Электрическая схема

На схеме показаны:

Сопротивления: R1, R2, R3, R4, R5 Источники ЭДС: E1, E2

Источник тока: J

Параметры элементов схемы:

R1 – 25 Ом; R2 – 30 Ом; R3 – 20 Ом; R4 – 50 Ом; R5 – 35 Ом; E1 – 12 В; E2 – 20 В; E3 – 35 В;

J – 1,5 А;

В схеме на рис.1 применены следующие обозначения:

красным цветом показаны узлы схемы и их номера (У₁, У₂, У₃)

зеленым цветом показаны условные направления векторов токов и их названия синим цветом показаны условные направления обхода контуров

Составим систему уравнений по первому и второму законам Кирхгофа:

Для этого выберем произвольно положительные направления векторов токов (на рис.1 обозначены зеленым цветом) и обозначим их I₁, I₂, I₃, I₄, I₅соответственно. Найдем количество узлов, ветвей и контуров в схеме.

Число узлов в схеме: N_узлов= 3 Число ветвей в схеме: N_ветвей= 6

Число ветвей с неизвестным значением тока: N_н.з.т.= N_ветвей– 1 = 5 Количество независимых контуров: N_{контуров}= 4

Количество независимых уравнений по 1 закону Кирхгофа: N_узлов– 1 = 2

Запишем их для первого и второго узлов. В правой части поставим значение суммы токов для каждого узла. Получим:

I₅– I₄– I₂– I₁+ J = 0 (для узла У₁) I₁+ I₂– I₃– I₅= 0 (для узла У₂)

Количество уравнений по 2 закону Кирхгофа: N_н.з.т.– (N_узлов– 1) = 3

Запишемих,переносявправуючастьуравненийзначенияисточниковЭДС.Если направлениеобходаконтуранесовпадаетсусловнымнаправлениемвекторатока, то перед произведением тока и сопротивления ставим знак «минус». Если направлениеобходаконтурасовпадаетсусловнымнаправлениемвекторатока,то ставится знак «плюс». Таким образом, мыполучаем:

R1I₁– R2I₂= E1 – E2 (для контура У₁– У₂– У₁)

R5I₅+ R2I₂= E2 (для контура У₂– У₁– У₂)

R3I₃– R4I₄– R5I₅= E3 (для контура У₂– У₃– У₁– У₂)

Так как в узел У₁входит ток из элемента J, то, перенесем его значение в правую часть со знаком «минус». Подставим в уравнения известные величины сопротивлений и источников ЭДС. Таким образом, получаем систему уравнений:

1) I₅– I₄– I₂– I₁= - 1,5

2) I₁+ I₂– I₃– I₅= 0

3) 25I₁– 30I₂= -8

4) 30I₂+ 35I₅= 20

5) 20I₃– 50I₄– 35I₅= 35

Запишемсистемууравненийввидематрицыинайдемсоответствующиезначения токов, используя программуMathcad:

11 0 1 1 1 1 1 0 1   x25300 0 0 0 30 0 0 35   0 0 205035

1.5 0   y8 20   35

z1y x

0.626 0.789   z1.519 0.019   0.104

Если полученное значение тока является отрицательным числом, то следует изменить направление тока на схеме. Таким образом, мы получили результаты:

I₁= 0.626 A I₂= 0.789 A I₃= 1.519 A I₄= 0.019 A I₅= 0.104 A

Произведем расчет схемы по методу узловых потенциалов. Для этого выберем произвольно узел, который соединим с нулевым потенциалом. Получим схему:

Выберем, как и в предыдущем случае, произвольные направления векторов тока и направления обхода контуров.

Составим уравнения для вычисления потенциалов по следующему принципу:

^Nуравнений^{= N}узлов^{- 1 - N}ист. тока^{= 3-1-0 = 2}Запишем:

I₁+ I₂+ I₄– I₅– J = 0 для узла №1

-I₁– I₂+ I₃+ I₅= 0 для узла №2

Здесь, для удобства вычислений, мы изменим порядок присвоения знака. Будем считать входящие токи со знаком «минус», а исходящие со знаком «плюс».

Запишем выражения для всех токов. Начальные и конечные точки для векторов токов будем обозначать буквой𝜙с индексом начального и конечного узлов.

𝜙1 − 𝜙2 + 𝐸1

_𝑅1 =𝐼1

𝜙1 − 𝜙2 + 𝐸2

_𝑅2 =𝐼2

𝜙2 − 𝜙3 + 𝐸3

_𝑅3 =𝐼3

𝜙1 − 𝜙3

_𝑅4 =𝐼4

𝜙2 − 𝜙1

_𝑅5 =𝐼5

Подставив данные выражения в уравнения для первого и второго узлов, получим следующую систему уравнений:

𝜙1 − 𝜙2 + 𝐸1

𝑅1 ⁺

𝜙1 − 𝜙2 + 𝐸2

𝑅2 ⁺

𝜙1 − 𝜙3

𝑅4 ⁻

𝜙2 − 𝜙1

_𝑅5 − 𝐽 =0

𝜙1 − 𝜙2 + 𝐸1

− _𝑅1 −

𝜙1 − 𝜙2 + 𝐸2

𝑅2 ⁺

𝜙2 − 𝜙3 + 𝐸3

𝑅3 ⁺

𝜙2 − 𝜙1

_𝑅5 =0

Решим полученную систему уравнений в программе Mathcad:

Представим проводимости, как отношения.Затем используем данные значения для подстановки в имеющуюся систему уравнений.

g1¹

r1

g2¹

r2

g3¹

r3

g4¹

r4

g5¹

r5

G1g1g2g4g5G12g1g2g5

G2g1g2g3g5G21g1g2g5

Для вычислений в программе Mathcad введем символ G, который будет обозначать сумму проводимостей. При этом G1 – сумма собственных проводимостей ветвей, а G12 – сумма проводимостей смежных ветвей. Аналогично поступаем и для G2 и G21.

Следует учесть, что собственные проводимости мы записываем со знаком

«плюс», а смежные проводимости со знаком «минус».

G10.122

Вычислим значения для всех проводимостей.

G120.102

G20.152

G210.1e012 e2

I11j 

r1 r2

I110.353

В левой части будущей системы уравнений мы запишем значения всех токов в каждом

I22^e1

r1

• e2

r2

• e3

r3

I220.603

узле.

Составим матрицу, подставив в нее найденные значения, и решим систему уравнений. Получим следующие значения:

_{a0.122}

_0.102

0.102_

0.152_

_{b0.353}

_0.603_

da^1b

_d0.964_

_4.614_

10.964

24.614

30

Потенциал узла У3 равен нулю, так, как он соединен с землей. Остальные значения мы берем из матрицы.

Далее, подставим полученные значения в выражения для токов. Получим:

i1^1

2r1

• e1

i2^1

2r2

• e2

i3^2

3r3

• e3

i4

13 r4

i5

21 r5

i10.626

i20.788

i31.519

i40.019

i50.104

Такимобразом,в первомивовторомслучае,мыполучили

одинаковые значения токов вветвях:

I₁= 0.626 A I₂= 0.788 A I₃= 1.519 A I₄= 0.019 A I₅= 0.104 A

Для проверки найденных значений составим баланс мощностей.

Обозначим мощность источника и мощность потребителя символами Р1 и Р2 соответственно. Примем значение источника тока как Vj = I4*R4 = - 0.964

Получим следующие уравнения:

P1e1i1e2i2e3i3jV P175.008

P2i1²r1i2²r2i3²r3i4²r4i5²r5

P275.006

P1P20.00250476

Погрешность расчетов составила 0.0025 Вт, что является допустимым. Проверка показала, что расчеты токов в первом и втором случаях произведены верно.

*********************************************************************Задание №2

Двухполюсник, представляющий собой смешанное соединение резистивных, индуктивных и ёмкостных элементов, подключён к источнику гармонического напряжения.

Параметры элементов двухполюсника: R = 5 Ом, L = 50 мкГн, С = 100 нФ.

1. Записать комплексные сопротивления Z1, Z2, Z3 и рассчитать эквивалентное комплексное сопротивлениеZэкв

2. Рассчитать комплексные значения токов во всех ветвях и комплексные значения напряжений на всех элементахцепи.

3. Построить векторную диаграммутоков.

4. Записать выражения мгновенных значений токов: i(t), i1(t), i2(t), i3(t) и напряжения на резисторе: (t) Ru

5. Построить графики зависимости от времени: i(t) и(t)Uвх

6. Рассчитать баланс активных и реактивных мощностей источника энергии и её потребителя(двухполюсника).

Решение:

Рис.1 Развернутая и эквивалентная схема

На схеме показаны: Сопротивление: R Конденсатор: C

Катушки индуктивности: L

Z1, Z2, Z3 – эквивалентные сопротивления цепи I, I1, I2 – направления токов в цепи (экв. знач.) Параметры элементов цепи:

R = 5 Ом

С = 100 нФ = 100*10^-9Ф L = 50 мкГн = 50*10^-6Гн f = 110 кГц = 110*10³Гц Um = 2 В

ψ = 45^о= 0,785 рад

Найдем комплексные значения элементов цепи:

Z1i2

• fLi

(2

1

• fC)

Z2i2

• fL

Z3R

Z120.089i

Ом Z2

34.558i

Ом Z35 Ом

Комплексные значения токов:

Im

Em Zвх

Im0.0540.136i A

Im0.146

A arg(Im)

1.946

рад

I1m

U12mZ1

0.0340.086i

I1mIm

Z2Z1Z2

I1m0.0340.086i A

I2m

U12mZ2

0.020.05i

I2mIm

Z1Z1Z2

I2m0.020.05i A

Построим векторную диаграмму токов:

rI1

T

( 0 Re(I1m) )

arg^Em

1.196

рад

rI1( 0

rI2

0.034 )

T

T

iI1

T

( 0 0.086 )

T

180

_Im

_Em

( 0 Re(I2m) )

iI2( 0 0.05 )

• arg

 _Im

68.516

град

rI

T

( 0 Re(Im) )

T

iI

T

( 0 0.136 )

T

¹⁸⁰arg(Im)

111.484

град

rE( 0 Re(Em) )

iE( 00) _

iI_niI1_niI2_n

0.06 0.02

rI_nrI1_nrI2_n

1

0.5

iE_n

2 1.5

1 0.5 0

0.5

1

rE_n

Найдем мгновенные значения токов:

t0110^3T2T

i(t)0.421sin(2ft1.946)

i1(t)0.526sin(2ft1.946)

i2(t)0.105sin(2

• ft1.946)

c

T

¹T9.09110^6

f

1

i( t)

i1(t)

i2(t)

0.5

0.5

1

t

График зависимости от времени i(t) и (t) U_вх

U1mI1mZ1 U2mI2mZ2

U1m1.7320.682i U2m1.7320.682i

e(t)

Emsin(2ft)

U3mImZ3

0.6

U3m0.2680.682i

u1(t)

u3(t)

U1msin(2

U3msin(2

• ftarg(U1m))

• ftarg(U3m))

0.3

i(t)

0.3

e( t)

5

1

0.6 2

t

Рассчитаем баланс мощностей:

XL2



• fL

_2

XC

(2

1

• fC)

Pпотр

Qпотр^

• R



2

• XL

Pпотр



0.054

• 

  2

  XC^

Вт

2

^XL

Qпотр

0.136

вар

Sист 

Sист

0.0540.136i BA

*********************************************************************Задание № 3

На рисунке 1 изображена электрическая схема. На рисунке 2 изображён график входного сигнала и заданы параметры напряжения и интервала времени.

Определить следующие характеристики цепи:

• комплексную передаточную функцию по напряжению Н(jω) построить графики её АЧХ H(ω) и ФЧХθ(ω);

• по эквивалентным схемам цепи для ω = 0 и ω = ∞ определить значения H(0) и H(∞) и по этим значениями проверить правильность расчётаАЧХ;

• операторную передаточную функцию по напряжениюH(p);

• переходную характеристику g(t), построитьграфик;

• импульсную характеристику h(t), построитьграфик;

• определить Sвх (jω) - комплексную спектральную плотность сигнала, представленного на рисунке 2;

• рассчитать и построить график амплитудного спектра Sвх(ω);

• определить Sвых (jω) - комплексную спектральную плотность сигнала на выходецепи;

• рассчитать и построить график амплитудного спектра Sвых(ω);

• определить функцию мгновенного напряжения на выходе цепи uвых(t) и построитьграфик.

Рис.1

Рис.2

Решение:

На схемах (Рис. 1 и Рис. 2) показаны: Сопротивление: R1, R2 Конденсатор: C1

Z1, Z2 – эквивалентные сопротивления цепи Параметры элементов цепи:

R1 = R2 = 1 кОм = 1*10³С = 3,4 нФ = 3,4*10^-9Ф

Комплексные значения сопротивлений:

Z1R1

Z2()R2

1

jC1

Комплексная передаточная функция по напряжению:

H()

R2

1

jC1

H()

1jC1R2

_{()arg(H(}))

R1R2

1

jC1

1jC1(R1R2)

График АЧХ

deg

1