10-Линейная_алгебра

X. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Теоретические вопросы

1. Линейное пространство. Базис. Координаты.

2. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

3. Линейный оператор. Матрица оператора.

4. Преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису.

5. Действия над линейными операторами.

6. Собственные векторы и собственные значения.

7. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского.

8. Сопряженные и самосопряженные операторы. Их матрицы.

9. Ортогональное преобразование; свойства; матрица.

10. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования.

Теоретические упражнения

1. Найти какой-нибудь базис и размерность подпространства пространства , если задано уравнением .

2. Доказать, что все симметрические матрицы третьего порядка образуют линейное подпространство всех квадратных матриц третьего порядка. Найти базис и размерность этого подпространства.

3. Найти координаты многочлена в базисе

4. Линейный оператор в базисе имеет матрицу

Найти матрицу этого же оператора в базисе

5. Найти ядро и область значений оператора дифференцирования в пространстве многочленов, степени которых меньше или равны трем.

6. Пусть и — собственные векторы оператора , относя­щиеся к различным собственным значениям. Доказать, что вектор не является собственным вектором оператора .

7. Пусть , . Будет ли оператор самосопряженным?

8. Доказать, что если матрица оператора — симметрическая в некотором базисе, то она является симметрической в любом базисе (базисы — ортонормированные).

Расчетные задания

Задача 1. Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором определены сумма любых двух элементов и и произведение любого элемента на любое число ?

1.1. Множество всех векторов трехмерного пространства, координаты которых – целые числа;

сумма , произведение .

1.2. Множество всех векторов, лежащих на одной оси;

сумма , произведение .

1.3. Множество всех векторов на плоскости, каждый из которых лежит на одной из осей;

сумма , произведение .

1.4. Множество всех векторов трехмерного пространства;

сумма , произведение .

1.5. Множество всех векторов, лежащих на одной оси;

сумма , произведение .

1.6. Множество всех векторов, являющихся линейными комбинациями векторов , , ;

сумма , произведение .

1.7. Множество всех функций , , принимающих положительные значения;

сумма , произведение .

1.8. Множество всех непрерывных функций , , заданных на ;

сумма , произведение .

1.9. Множество всех четных функций , , заданных на ;

сумма , произведение .

1.10. Множество всех нечетных функций , , заданных на ;

сумма , произведение .

1.11. Множество всех линейных функций , ;

сумма , произведение .

1.12. Множество всех многочленов третьей степени от переменной ;

сумма , произведение .

1.13. Множество всех многочленов степени, меньшей или равной трем от переменных , ;

сумма , произведение .

1.14. Множество всех упорядоченных наборов из чисел

, ;

сумма, произведение .

1.15. Множество всех упорядоченных наборов из чисел

, ;

сумма, произведение .

1.16. Множество всех сходящихся последовательностей , ;

сумма , произведение .

1.17. Множество всех многочленов от одной переменной степени меньшей или равной ;

сумма , произведение .

1.18. Множество всех многочленов от одной переменной степени ;

сумма , произведение .

1.19. Множество всех диагональных матриц

;

сумма , произведение .

1.20. Множество всех невырожденных матриц

;

сумма , произведение .

1.21. Множество всех квадратных матриц

;

сумма , произведение .

1.22. Множество всех диагональных матриц размера ;

сумма , произведение .

1.23. Множество всех квадратных матриц

;

сумма , произведение .

1.24. Множество всех симметричных матриц

;

сумма , произведение .

1.25. Множество всех целых чисел;

сумма , произведение .

1.26. Множество всех действительных чисел;

сумма , произведение .

1.27. Множество всех положительных чисел;

сумма , произведение .

1.28. Множество всех отрицательных чисел;

сумма , произведение .

1.29. Множество всех действительных чисел;

сумма , произведение .

1.30. Множество всех дифференцируемых функций , ;

сумма , произведение .

1.31. Множество всех дифференцируемых функций , ;

сумма , произведение .

Задача 2. Исследовать на линейную зависимость систему векторов.

2.1.

2.2. на .

2.3.

2.4. на .

2.5.

2.6. на .

2.7.

2.8. на .

2.9.

2.10. на .

2.11.

2.12. на .

2.13.

2.14. на .

2.15.

2.16. на .

2.17.

2.18. на .

2.19.

2.20. на .

2.21.

2.22. на .

2.23.

2.24. на .

2.25.

2.26. на .

2.27.

2.28. на .

2.29.

2.30. на .

2.31.

Задача 3. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы.

3.1. 3.2.

3.3. 3.4.

3.5. 3.6.

3.7. 3.8.

3.9. 3.10.

3.11. 3.12.

3.13. 3.14.

3.15. 3.16.

3.17. 3.18.

3.19. 3.20.

3.21. 3.22.

3.23. 3.24.

3.25. 3.26.

3.27. 3.28.

3.29. 3.30.

3.31.

Задача 4. Найти координаты вектора в базисе , если он задан в базисе .

4.1. 4.2.

4.3. 4.4.

4.5. 4.6.

4.7. 4.8.

4.9. 4.10.

4.11. 4.12.

4.13. 4.14.

4.15. 4.16.

4.17. 4.18.

4.19. 4.20.

4.21. 4.22.

4.23. 4.24.

4.25. 4.26.

4.27. 4.28.

4.29. 4.30.

4.31.

Задача 5. Пусть . Являются ли линейными следующие преобразования:

5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

5.7.

5.8.

5.9.

5.10.

5.11.

5.12.

5.13.

5.14.

5.15.

5.16.

5.17.

5.18.

5.19.

5.20.

5.21.

5.22.

5.23.

5.24.

5.25.

5.26.

5.27.

5.28.

5.29.

5.30.

5.31.

Задача 6. Пусть . Найти:

6.1. 6.2. 6.3.

6.4. 6.5. 6.6.

6.7. 6.8. 6.9.

6.10. 6.11. 6.12.

6.13. 6.14. 6.15.

6.16. 6.17. 6.18.

6.19. 6.20. 6.21.

6.22. 6.23. 6.24.

6.25. 6.26. 6.27.

6.28. 6.29. 6.30.

6.31.

Задача 7. Найти матрицу в базисе , где

,

если она задана в базисе .

7.1. 7.2. 7.3.

7.4. 7.5. 7.6.

7.7. 7.8. 7.9.

7.10. 7.11. 7.12.