Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Основы математического моделирования / Мехатроника_ задание_14

.doc
Скачиваний:
26
Добавлен:
10.02.2015
Размер:
1.84 Mб
Скачать

Мехатроника

Задание:

1.Найти разностные уравнения и Z-прелбразования по указанной ниже передаточной функции двумя способами: классическим и с помощью билинейных праобразований (используя Matlab).

2. Построить переходные и частотные характеристики: по предложенной передаточной функции и преобразованным Z- фкнкциям в двух вариантах.

3 Исходная передаточная функция

Варианты заданий

№ вар

Фамилия

а0

а1

а2

1

1.3

0.06

0.01

2

1.35

0.065

0.015

3

1.4

0.07

0.018

4

1.45

0.075

0.02

5

.1.5

0.08

0.024

6

1.55

0.085

0.028

7

1.6

0.09

0.03

8

1.66

0.095

0.033

9

1.7

0.1

0.04

10

1.77

0.12

0.045

Теория и методические указания

В настоящее время цифровые САУ получили широкое распространение в различных отраслях промышленности. Эти системы, как правило, снабжены встроенными управляющими микро-ЭВМ или микропроцессорами. Работа цифровой САУ осуществляется под управление рабочей программы содержащейся в памяти ЭВМ, или вводимой извне. Достоинством цифровых САУ является высокая точность работы, малые габариты управляющей части, возможность оперативно менять алгоритм работы САУ за счет изменения управляющей программы.

Цифровые САУ относятся к классу линейных импульсных систем, но имеют свои особенности. Так в импульсных системах информация о входном воздействии определяется в дискретные моменты времени (t = ti(0,1,2…).и модулируется различными способами (амплитудная, фазовая, широтно-импульсная) В цифровых САУ моменты времени равноотстоящие, т.е. ti = iT, где Т- период квантования, а модуляция амплитудная. Наличие и вид информации в промежутках между моментами замера зависит от типа экстраполятора (в ЦВМ это программа, определяющая закон изменения информации между моментами замера информации). Экстраполяторы бывают нулевого, первого и более высокого порядка. Экстраполятор нулевого порядка сохраняет после замера сигнал постоянным до следующего замера. Экстраполятор первого порядка реализует тенденцию изменения сигнала по первой производной и.т.д.

В основе теории импульсных, а следовательно и цифровых систем, лежат разностные уравнения (аналог дифференциальных уравнений) и z- передаточные функции (аналоги передаточным функциям непрерывных систем).

Для импульсных систем существует также понятие уравнения в конечных разностях. Оно может быть получено из линейного дифференциального уравнения путем замены символа дифференцирования d на конечное приращение ∆, а текущего времени t на период квантования T. Например для линейного дифференциального уравнения 2-го порядка

(1)

уравнение в конечных разностях будет иметь вид:

. (2)

В связи с тем, что ЦВМ оперирует не разностями, а абсолютными значениями переменных уравнения в конечных разностях непригодно для использования в прикладных программах и его преобразуют в разностные уравнения. Разностное уравнение для нашего примера составляется следующим образом. Пусть в некоторый текущий момент времени t=Tn входная переменная g(t) = g(Tn), а в предыдущий момент съема информации g(t) = g(T(n-1)). Аналогично, если в текущий момент выходная переменная x(t) = x(Tn), то в предыдущий и предпредыдущий моменты значения x(t) соответственно были: x(t) = x(T(n-1)) и x(t) = x(T(n-2)) (рис. 1).

Через эти значения переменных могут быть выражены разности:

. (3)

После подстановки выражений (3) в (2) и некоторых очевидных преобразований получим:

, (4)

где:, , ,

.

В общем виде уравнение линейного дискретного фильтра будет иметь вид:

, (5)

где N- порядок правой части дифференциального уравнения фильтра, а M – порядок левой части.

Выражение (5) по существу является алгоритмом для вычисления очередной текущей переменной x по значениям текущей входной переменной g, ее предыдущих значений, количество которых равно порядку правой части исходного дифференциального уравнения, а также предыдущих значений выходной переменной x, количество которых равно порядку левой части исходного дифференциального уравнения. Разностное уравнение в форме (3, 5) непосредственно применяется в прикладных управляющих программах цифровых САУ.

Разностные уравнения в форме (5) можно получить из z – передаточных функций. Напомним, что z – передаточную функцию получают применяя дискретное преобразование Лапласа к входной и выходной переменной рассматриваемого динамического звена, например , или , где ,

и беря их отношение.

Для разностного уравнения (5), учитывая, что по теореме смешения

, а , получим:

(6)

Для частного уравнения (7-4) Z – передаточная функция будет иметь вид:

(7).

Как видим коэффициенты с и d в выражениях (5) и (7) имеют одни и те же значения, однако получить непосредственно разностное уравнение высокого порядка (как мы получили для второго порядка) обычно бывает сложно и эти коэффициенты берут из Z – передаточной функции. Последнюю можно получить несколькими различными способами. В инженерной практике Z – передаточную функцию чаще всего получают из обычной передаточной функции с помощью билинейного преобразования [1] путем подстановки:

, (8) из которой следует, что (9) .

Таким образом произведена замене трансцедентного значения на линейное выражение (9). Правомерность такой замены основана на предположении, что предельная частота входного воздействия и частота среза САУ намного меньше частоты квантования ЦВМ ωкв=2π/Т.

Действительно положив s=jω имеем .

При , или получим , что в операторной форме соответствует 9.

Из теории импульсных систем известно, что полоса воспроизводимых частот лежит в пределах

Применение выражения (8) позволяет при анализе и синтезе дискретных систем использовать аппарат частотных характеристик, разработанный для непрерывных линейных систем.

Пример моделирования

1. Используя процедуру "bileniar" пакета Matlab найдем коэффициенты Z-передаточной функции для корректирующего звена

, в котором b = 0.05, a = 0.7. Для их нахождения откроем окно редактирования M-файлов (см приложение стр. …) и внесем в него программу (а). В этом же окне «шелкнем» мышкой по кнопке (RUN). Результат вычислений (коэффициенты ad и bd) появится в командном (первичном) окне (б).

.2. Из раздела Discrete (дискретные элементы) библиотеки Simulink исподьзуем блок Discrete Filtre, введя в него коэффициенты bd (числитель) и ad (знаменатель) по возрастающим степеням и период квантования Т= 0.005с (рис. 2). Коэффициениы bd и ad соответствуют коэффициентам "d" и "с" в уравнениях (6) и (7).

3. Определим и зафиксируем частотные характеристики непрерывного и аналогичного дискретного фильтров в соответствии с методикой определения ЛАЧХ и ЛФЧХ непрерывных звеньев (рис.3).

4. Сравним характеристики непрерывного и дискретного фильтров и убедимся, что с ростом частоты различие в характеристиках возрастает.

1 Ю.Ф. Опадчий, О.П. Глудкин, А.И. Гуров Аналоговая и цифровая электроника. –М. «Горячая линия-Телеком», 2002.

2 Казмиренко В.Ф. Электрогидравличские мехатронные модули движения. Учебное пособие. -М. Радио и связь, 2001г.

.

3 Подураев, Ю.В. Мехатроника: основы, методы, применение: Учеб. пособие для вузов (УМО) / Ю. В. Подураев. - М. : Маш-ие, 2006. - 256с. : ил.

4 Карнаужов, Н.Ф. Электромеханические и мехатронные системы: Учеб. пособие для вузов (УМО) / Н. Ф. Карнаухов. - Ростов н/Д. : Феникс. 2006. - 320с

5. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. Теория систем автоматического управления: -СПб. Изд-во «Профессия», 2003.- С 190-231