7Признаки сходимости числового ряда
.doc
РАЗДЕЛ IV. РЯДЫ
ЛЕКЦИЯ 2. НЕОБХОДИМЫЙ И ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВОГО РЯДА
Необходимый признак сходимости ряда. Гармонический ряд
Найти
-ую
частичную сумму
и её предел для произвольного ряда
иногда довольно сложно. В таких случаях
пользуются признаками сходимости ряда.
Первым из них является необходимый
признак сходимости.
■ Теорема
2.1 (необходимый
признак сходимости ряда).
Если ряд
сходится, то его общий член стремится
к нулю при
,
то есть
.
Доказательство. Рассмотрим частичные суммы ряда :
,
.
По условию ряд
сходится. Обозначим его сумму через
,
тогда
,
.
Так как
при
,
то
.
■
Следствие
(достаточный
признак расходимости ряда).
Если
или не существует, то ряд
расходится.
Действительно,
если бы ряд сходился, то
.
Но это противоречит условию. Значит,
ряд расходится. Ряд, у которого общий
член стремится к нулю, может как сходиться,
так и расходиться.
► Пример. Исследовать на сходимость ряд:
а)
;
б)
;
в)
(гармонический
ряд).
Решение. а) Необходимый признак сходимости числового ряда не выполняется:
,
поэтому данный ряд расходится.
б) Необходимый признак сходимости числового ряда не выполняется:
,
поэтому данный ряд расходится.
в) Необходимый признак сходимости числового ряда выполняется:
.
Ряд, у которого общий член стремится к нулю, может как сходиться, так и расходиться.
Из равенства
следует, что при любом натуральном
имеет место неравенство
.
Прологарифмируем это неравенство по
основанию
:
,
,
.
Подставляя в
полученное неравенство поочерёдно
,
2, …,
,
,
получим:
,
,
,
…,
.
Сложив почленно
эти равенства, получим
.
Поскольку
,
то
,
то есть гармонический ряд расходится.
◄
Положительные числовые ряды и достаточные признаки их сходимости. Необходимый признак сходимости не даёт, в общем случае, возможности ответить на вопрос о сходимости ряда. Сходимость и расходимость ряда можно установить с помощью достаточных признаков сходимости ряда. Рассмотрим некоторые из них для положительных рядов.
Определение 2.1. Ряд, все члены которого положительны, называется числовым положительным рядом:
,
,
.
Сходимость или расходимость положительного ряда можно установить, сравнив его с другим, «эталонным» рядом, о котором точно известно, сходится он или нет.
■ Теорема 2.2 (признак сравнения). Пусть даны два положительных ряда
(А) и
(Б),
и пусть при
для этих рядов выполняется условие:
.
Тогда из сходимости ряда (Б) следует сходимость ряда (А), а из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (Б).
Доказательство. Докажем, что из сходимости ряда (Б) следует сходимость ряда (А).
По условию
.
Обозначим через
и
-ые
частичные суммы рядов (А) и (Б) соответственно:
,
.
Из неравенства
следует, что
.
Ряд (Б) сходится, поэтому он имеет сумму,
обозначим её
.
Тогда
.
Значит, и
.
Получается, что монотонно возрастающая
числовая последовательность
,
,
…,
,
… ограничена, поэтому она имеет предел
(теорема о существовании предела).
Значит, ряд (А) сходится.
Докажем, что из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (Б).
Из расходимости
ряда (А) следует, что
или
не существует. Но из условия
следует, что
.
Тогда
,
то есть ряд (Б) расходится. ■
► Пример. Исследовать на сходимость ряд
.
Решение. Вычислим предел общего члена
.
Ряд может как сходиться, так и расходиться.
Сравним данный
ряд с рядом геометрической прогрессии
.
Ясно, что
при
.
Ряд
сходится, так как
.
Согласно признаку сравнения, данный
ряд также
.
◄
■ Теорема 2.3 (предельный признак сравнения). Если для положительных рядов
(А) и
(Б)
существует конечный и отличный от нуля предел
(
),
то эти ряды одновременно сходятся или расходятся.
Доказательство.
Равенство
означает, что для любого
существует такой номер
,
что при всех
выполняется неравенство
,
откуда
,
(
).
Взяв
и обозначив
(
),
(
),
получим
(
).
Пусть ряд (Б)
сходится. Тогда сходится и ряд
.
Отсюда из неравенства
по признаку сравнения получаем, что
сходится и ряд (А). Если ряд (А) сходится,
то из неравенства
и признака сравнения следует, что
сходится ряд
.
Тогда сходится и ряд (Б). Таким образом,
доказано, что из сходимости ряда (Б)
следует сходимость ряда (А) и обратно.
Если ряд (А)
расходится, то из неравенства
и признака сравнения следует, что и ряд
(Б) расходится. Если расходится ряд (Б),
то из неравенства
и признака сравнения следует расходимость
ряда (А).■
► Пример. Исследовать на сходимость ряд
а)
;
б)
.
Решение. а) Вычислим предел общего члена
.
Ряд может как сходиться, так и расходиться.
Сравним данный
ряд с гармоническим рядом
,
который расходится. Для этого вычислим
предел отношения общих членов заданного
и гармонического рядов:
.
Так как
,
то на основании предельного признака
сравнения заключаем, что данный ряд
расходится.
б) Вычислим предел общего члена
.
Ряд может как сходиться, так и расходиться.
Сравним данный
ряд со сходящимся рядом геометрической
прогрессии
.
Для этого вычислим предел отношения их
общих членов:
.
Так как , то на основании предельного признака сравнения заключаем, что данный ряд сходится. ◄
В отличие от
признаков сравнения, где всё зависит
от догадки, признак Даламбера (Даламбер
– французский математик, 1717 – 1783)
позволяет ответить на вопрос о сходимости
ряда (но не всегда) с помощью несложных
операций над членами ряда с номерами
и
.
■ Теорема 2.4 (признак Даламбера). Пусть дан положительный ряд и существует конечный или бесконечный предел
.
Если
,
то ряд сходится, если
,
то ряд расходится. Если
,
то ряд может сходиться, а может и
расходится.
Доказательство. Равенство означает, что для любого существует такой номер , что при всех выполняется неравенство:
,
Откуда
,
.
Пусть
.
Выберем
так, чтобы
и обозначим
,
.
Из неравенств
следует, что
или
при
.
Полагая в последнем неравенстве
,
,
,
…, получаем:
,
,
,
… .
Следовательно,
начиная с номера
,
все члены данного ряда не превосходят
соответствующих членов геометрической
прогрессии. Поскольку эта прогрессия
сходится (
),
то сходится остаток после члена с номером
,
поэтому сходится и данный ряд.
Пусть
.
Выберем
так, чтобы
и обозначим
,
.
Из неравенств
следует, что
или
при
,
,
… . Это означает, что, начиная с номера
,
члены ряда возрастают. В этом случае не
выполняется необходимый признак
сходимости и ряд расходится. ■
► Пример.
Исследовать
на сходимость ряд
.
Решение. Вычислим предел общего члена
.
Необходимый признак выполняется, так как знаменатель возрастает быстрее числителя при . Ряд может как сходиться, так и расходиться.
Поскольку
,
;
;
,
следовательно, данный ряд сходится. ◄
■ Теорема 2.5 (радикальный признак Коши). Пусть дан положительный ряд и существует предел
.
Тогда, если , то ряд сходится, если , то ряд расходится. Если , то ряд может сходиться, а может и расходиться.
Доказательство.
Условие
означает, что для любого
существует такой номер
,
что при всех
выполняется неравенство:
,
откуда
,
.
Пусть
.
Выберем
так, чтобы
и обозначим
,
.
Из неравенств
следует, что
или
при
.
Итак, каждый член ряда, начиная с номера
,
меньше соответствующего члена сходящейся
геометрической прогрессии (
),
поэтому данный ряд сходится.
Пусть
.
Выберем
так, чтобы
и обозначим
,
.
Из неравенств
следует, что
или
при
.
В этом случае не выполняется необходимый
признак сходимости и ряд расходится. ■
► Пример. Исследовать на сходимость ряд:
а)
;
б)
.
Решение. а) Вычислим предел общего члена
.
Ряд может как сходиться, так и расходиться.
Поскольку
,
то данный ряд сходится.
б) Вычислим предел общего члена
.
Ряд может как сходиться, так и расходиться.
Так как
,
то применим радикальный признак Коши
к ряду
.
Поскольку
,
то данный ряд сходится. ◄
■ Теорема
2.6
(интегральный
признак Коши).
Если члены положительного ряда
не возрастают
(
)
и существует неотрицательная невозрастающая
при
функция
,
принимающая в точках
значения
,
,
то ряд
сходится
или расходится вместе с интегралом:
.
Доказательство.
Если
,
то
,
откуда
;
.
Суммируя члены
последнего двойного неравенства от
до
,
получаем
;
,
то есть
или
.
Если интеграл
сходится, то
при любом натуральном
.
Следовательно,
или
(
).
Так как
– монотонно возрастающая и ограниченная
последовательность, то существует
предел
,
то есть ряд
также сходится. Если ряд
сходится и
,
то
при любом
.
Из неравенств
следует, что
при любом
.
Несобственный интеграл также сходится.
■
Замечание. Теорема
верна и в случае, когда нижний предел в
несобственном интеграле
равен
и равенство
выполняется для
(
).
► Пример. Исследовать на сходимость ряд:
а)
;
б)
.
Решение. а) Необходимый признак выполняется, так как
.
Ряд может как сходиться, так и расходиться.
Члены данного ряда
убывают
,
поэтому применим интегральный признак
Коши. Функция
положительна и убывает при
.
Поскольку:
,
то есть интеграл расходится, значит, расходится и данный ряд.
б) Необходимый признак выполняется, так как
.
Ряд может как сходиться, так и расходиться.
Члены данного ряда
убывают
,
поэтому применим интегральный признак
Коши. Функция
положительная и убывает при
.