ВОЕНЫ АЛЛАХА1АЗАЗАЗАЗ / 5_Конусы_РВН_сент_9_2008

О.А. Кашина, А.И. Кораблев

5. Конусы релаксационных и возможных направлений

Определение 1. Пусть функция f определена

на

E	n

. Вектор s En называется релаксационным

направлением (направлением убывания)

f в точке x , если существует число
что	для любого	t 0, выполняется
ство	f x ts	f x .

функции

0

такое,

неравен-

Обозначим множество релаксационных направлений функции f в точке x через R x .

Теорема 1. Пусть Тогда для любого x En

функция f выпукла на E		n	.
множество	R x – выпук-

лый конус.

Доказательство. Пусть вектор

s

R

x

, чи-

сло
f x t

вектор

0	.

s

Тогда

f x

R x

согласно определению

для любого		0,
	t

.

1 имеем

, то есть

Проверим теперь выполнение второго требования определения выпуклого конуса. Пусть векторы s, h R x . Согласно определению 1 найдутся

, 0	такие,	что	f x t s	f x	при всех
t 0,	и f x t h		f x при	всех	t 0, .
Таким образом,		оба неравенства справедливы при
34

Методы оптимизации: Часть I

всех

t 0,

,

где

min , .

В силу выпук-

лости

функции

f

имеем

1

x t s

1

1

f x t s

1

f x t h .

f

2

2

x t h

2

2

Следовательно,

f

t

f x , то

есть

x

s h

f x s h

2

f x

при

всех

0, / 2 ,

где

t

. Итак,

s h R x .

Что

и

требовалось.

2

Релаксационные

направления

часто исполь-

зуются как при исследовании задач на минимум, так и в различных методах решения оптимизационных задач. В случае, когда решается задача максимизации, используются направления воз-

растания функции в точке, удовлетворяющие
неравенству	f x ts f x	при	t 0, .

Определение 1 не всегда позволяет непосредственно отыскивать релаксационные направления функции или устанавливать их отсутствие. Для выпуклых дифференцируемых функций в этом может помочь следующая теорема.

Теорема 2. Пусть f

цируемая в точке	x E	n

– выпуклая дифференфункция. Тогда

R x s : s En ,

f x , s

0 .

(1)

35

О.А. Кашина, А.И. Кораблев

ние

Доказательство. Докажем

R x во множество s : s E

сначала

n	,	f x

,

включе- s 0 .

Пусть s f x t s лучаем Из этих

R x . Тогда существует 0							такое,		что
f x , t 0, .		Из теоремы 4.1							по-
f x t s f x	t	f		x , s	,	t 0,			.
двух неравенств	и следует				f		x , s	0 .

Что и требовалось. Докажем обратное

место неравенство	f

включение.

x ,

s

0.

Пусть имеет Так как по

условию

имеем

f

функция

x t s

ff

дифференцируема в точке

x

t

f x ,

s

o x, s,

x t

,

,

где

	lim	o x, s, t
		t
	t 0

0

.

Поэтому для достаточно ма-

лых	t	знак приращения функции				f	совпадает со
знаком произведения			f		x , s . Тогда существует
0		такое, что f x t s f x ,					t 0, , то
есть		s R x . Что и	требовалось.

Заметим, что при доказательстве второго включения выпуклость функции не использовалась.

при

Заметим f x 0

также,	что
конус	R

x

в	условиях теоремы 2
	является открытым

полупространством.

Наконец, легко увидеть, что если функция f вогнута и дифференцируема в точке x En , то вектор s является направлением возрастания

36

Методы оптимизации: Часть I

функции

f

в

точке

x

тогда

и

только

тогда,

когда

выполняется неравенство

f

x , s

0 .

В

случае,

когда

функция

f x

линейна

( f x

c, x

),

а значит,

выпукла и вогнута одно-

временно,

неравенство

c, s

0

задает

конус

направлений убывания, а

c, s

0

–

конус направ-

лений

возрастания в

любой

точке

x .

Определение 2. Пусть

D

– множество из

E

n

,

точка

x D .

Вектор

s E

n

называется

воз-

можным

направлением

в

точке

x

для

множе-

ства

D , если существует число

0

такое,

что

x t s D

для любого

t 0,

.

Обозначим множество возможных направле-

ний

в

точке

x

для

множества

D

через

K

x

.

Теорема 3. Пусть

ство,	x D . Тогда		K
Доказательство.
число	0	. Тогда
имеем	x t s D для
вектор	s K x .

D E	n	– выпуклое множе-
x – выпуклый						конус.
Пусть		вектор					s K x ,
согласно				определению 2
любого		t		0,			, то есть

Проверим теперь выполнение второго тре-

бования определения выпуклого конуса. Пусть
векторы	s, h K x . Согласно определению 2
найдутся	, 0 такие, что x t s D при всех

37

О.А.

t

Кашина, А.И. Кораблев

0, и x t h D

при всех

t 0,

. Таким

образом, эти t 0, , где

включенияmin ,

справедливы при всех. В силу выпуклости

	множества					D	имеем
	то	есть			x s h D
			t	.	Таким		образом,
			2

бовалось.

Заметим, что если

	1	x t s		1	x t h D ,
	2			2
	при всех		0,			/ 2 ,	где
	s h K x .				Что	и	тре-
	x int D , то				K x		E	n	.

Теорема ство, точки

4.

x, y

Если	D
D ,	то

E	n	– выпуклое
вектор			s y x

множе-

K x .

Справедливость этого утверждения непосредственно следует из определений выпуклого множества и возможного направления.

При исследовании задач на условный экстремум нам понадобятся так называемые условно релаксационные направления.

Определение 3. Пусть функция

f

определена

на множестве D E	n

называется условно

, точка x D . Вектор s E	n

релаксационным направле-

нием функции			f	в точке	x	относительно		мно-
жества	D ,	если		в этой	точке		направление		s
является	возможным для				D	и	релаксационным
для функции			f .
Обозначим множество условно релаксацион-
ных направлений				функции	f	в	точке x	через
38

R x, D . Итак,

R x, D

в условиях теорем 1 и

Методы оптимизации: Часть I

K x	R x ,	а значит,
3 множество		R x, D

является выпуклым конусом.

39