Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
19
Добавлен:
10.02.2015
Размер:
337.03 Кб
Скачать

1. Симметрия кристаллических решеток.

Решетка Бравэ.

Для описания кристаллов вводят понятие пространственной решетки. Это - совокупность точек в трехмерном пространстве (узлы решетки), положения которых задаются векторами решетки:

 

 

 

lG(l ,l

2

,l

)=l aG

+l aG

+l aG

,

 

(1)

 

 

 

1

3

1

1

2

2

3

3

 

 

 

где

l ,l ,l - произвольные целые числа, a , aG

,aG

- три некомпланарных вектора, которые

 

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

называют базисными векторами. Пространственная решетка, заданная векторами решетки (1), называется решеткой Бравэ. Предполагается бесконечная протяженность решетки Бравэ. Такая решетка обладает свойством трансляционной симметрии, т.е. она переходит сама в себя при сдвигах на произвольный вектор решетки. Параллелепипед, построенный на базисных векторах a1, aG2 ,aG3 , называется элементарной ячейкой решетки Бравэ.

Элементарную ячейку можно также определить как минимальный объем, трансляцией которого можно получить всю пространственную решетку. Вершина каждого параллелепипеда является общей для восьми эквивалентных параллелепипедов, поэтому на самом деле на одну элементарную ячейку приходится один узел. Такая элементарная ячейка называется примитивной ячейкой. Как базисные вектора, так и примитивную ячейку для одной и той же решетки можно выбрать различными способами. Например, на Рис. 1а и 1б для одной и той же плоской решетки показаны две возможности выбора примитивной ячейки.

а) б)

a1

a1

 

a2

a2

 

Рис. 1 Решетка Бравэ может быть также представлена элементарной ячейкой Вигнера-Зейтца.

Ячейку Вигнера-Зейтца строят следующим образом: произвольный узел решетки Бравэ соединяют прямыми линиями с соседними узлами. Затем через середины линий связи

проводят перпендикулярные плоскости. Область пространства (многогранник), ограниченная этими плоскостями и содержащая выбранный нами узел, называется ячейкой Вигнера-Зейтца. Такое построение может быть выполнено единственным образом вокруг любого узла. Следовательно, решетка может быть представлена набором таких ячеек. На Рис. 1в показана ячейка Вигнера-Зейтца (многоугольник) для двумерной решетки.

в

Рис.1 в Помимо трансляционной симметрии решетка Бравэ обладает также точечной

симметрией, т. е. решетка переходит сама в себя при определенных преобразованиях симметрии, которые оставляют неподвижной, по крайней мере, одну точку трехмерного пространства; - поворотах вокруг определенных осей, отражениях относительно плоскости, инверсии относительно начала координат. Набором этих преобразований (элементов) симметрии задается тип точечной симметрии. Возможны четырнадцать типов точечных симметрий для решеток Бравэ, которые классифицируются по семи системам (сингониям); каждый тип симметрии определяется соотношениями абсолютных величин базисных векторов aG1 , aG2 , aG3 и значениями углов между базисными векторами α, β, γ (α=aG1 aG3 , β=aG2 aG3 , γ= aG1 aG2 ), см. Табл. 1.

Как видно из Рис. 2, элементарные ячейки отдельных типов решеток представлены не примитивной ячейкой, а ячейкой с базисом, т.е. теперь на элементарную ячейку приходится более чем один узел. Использование ячейки с базисом предпочтительно в том смысле, что такая ячейка лучше отражает элементы точечной симметрии решетки, которую она представляет, тогда как по примитивной элементарной ячейке той же решетки нелегко угадать ее элементы симметрии. В сказанном можно убедиться на примере объемноцентрированной кубической решетки. Эта решетка может быть представлена двумя кубическими решетками, вставленными друг в друга. Ячейка с базисом такой решетки (Рис. 3а) отражает элементы точечной симметрии намного лучше, нежели ее примитивная ячейка (Рис. 3б). Точечная симметрия решетки хорошо угадывается также по форме ячейки Вигнера -Зейтца (см. Рис. 3 в, где представлена ячейка Вигнера-Зейтца объемноцентрированной кубической решетки), называемой по этой причине симметричной. Кроме указанных типов

Таблица 1. Семь трехмерных кристаллических систем и четырнадцать решеток Бравэ.

 

 

Ограничения,

 

Система

 

накладываемые

Решетки Браве,

 

на размеры и углы

совместимые с

 

в стандартных элемен-

системой

 

 

тарных ячейках

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Триклинная

a 1

a 2

a

3

P(примитивная)

α

β

γ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Моноклинная

a 1

a 2

a 3

 

P(примитивная)

α

=

γ

=

9 0 0

≠ β

I(обьемно-центрирован-

 

ная)

Ромбическая

a 1

a 2

a 3

 

P(примитивная)

 

C(базоцентрированная)

α

=

γ

=

β

=

9 0 0

 

I(обьемно-центрирован-

 

 

 

 

 

 

 

 

ная)

 

 

 

 

 

 

 

 

F(гранецентрированная

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 1

=

a 2

a 3

 

P(примитивная)

 

 

I(обьемно-центрирован-

Тетрагональная

α

=

γ

=

β

=

9 0 0

ная)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кубическая

a 1

=

a 2

=

a 3

 

P(примитивная)

 

C(базоцентрированная)

α

=

γ

=

β

=

9 0 0

 

F(гранецентрированная

 

 

 

 

 

 

 

 

)

Тригональная или

a 1

= a 2

= a 3

 

 

R(ромбоэдрическая

 

 

 

 

 

 

 

ромбоэдрическая

120 0 > α = γ = β ≠ 90 0

примитивная)

 

 

 

 

 

 

 

Гексагональная

a 1

= a 2

a 3

 

 

P(примитивная

α = β = 900 , γ = 1200

 

ромбоэдрическая)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Использованы следующие обозначения для углов: α=a1 a3, β=a2 a3, γ=a1 a2

элементарных ячеек известна также кристаллографическая элементарная ячейка: она строится на базисных векторах так, что ее грани совпадают с естественными гранями монокристалла. Заметим также, что различные типы элементарных ячеек могут свестись к одному и тому же многограннику. Например, в случае простой кубической решетки

Кубическая

P

Кубическая

I

Кубическая F

 

Тетрагональная P

Ромбическая P

Ромбическая C

Тетрагональная I

Ромбическая I

Ромбическая F

Моноклинная P

Моноклинная I

Триклинная P

Тригональная R Тригональная и гексагональная P

Рис.2

примитивной ячейкой, ячейкой Вигнера-Зейтца и кристаллографической ячейкой является элементарный куб. Общим критерием для всех видов

az ay

ax

а)

 

a1

a3

 

a2

б)

в)

Рис.3

элементарных ячеек является то, что они представляют минимальные (как правило) фрагменты решетки данного типа, повторением (трансляцией) которых можно получить всю решетку. Решетка Бравэ отражает существенные свойства реального кристалла (его трансляционную и точечную симметрию), но не тождественна ему. Узлам решетки Бравэ, соответствуют атомы или группы атомов одного и того же сорта реальной решетки. Например, кристалл NaCl может быть представлен двумя гранецентрированными кубическими решетками Бравэ, вдвинутыми одна в другую, узлы одной заняты ионами Na+, другой - ионами Cl-. Перечислением и классификацией возможных типов кристаллических структур реальных твердых тел занимается кристаллография.

Обратная решетка.

По отношению к решетке Бравэ (прямой решетке) можно ввести обратную решетку. Поясним целесообразность введения обратной решетки. Поскольку решетка Бравэ

инвариантна относительно трансляций на вектор решетки l (l1,l2 ,l3 ) , любая физическая величина, характеризующая данный кристалл; например электростатический потенциал, является периодической функцией пространственных координат, т.е.

 

V (rG +l )=V (rG).

(2)

 

 

 

Если базисные вектора (aG

,aG

,aG

) образуют

прямоугольную систему (aG

,aG

,aG

) ,

1

2

3

 

x

y

z

 

периодическую функцию (2) мы можем представить трехмерным рядом Фурье (это следует из стандартного курса математики):

V (rG)= V (gx g y gz )exp{i 2πgx x ax

+ 2πg y y

ay

+ 2πgz z az }

 

gx,gy,gz

 

GG

 

 

 

 

 

(3)

G

 

 

 

 

 

 

= V (g )exp

(igr ),

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V (gx g y gz ) V (gG) =

1

 

a

ay

a

dzV (rG) ×

 

 

x

dx dy z

 

 

 

 

 

axay az 0

0

0

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

1

 

G G

exp{i 2πgx x / ax + 2πg y y / ay + 2πgz z / az }=

 

GG

 

drV (r )exp(igr )

Ω

 

 

 

 

 

 

 

Ω

 

 

здесь интеграл вычисляется по объему элементарной ячейки Ω, который в данном случае равен Ω= aGx aGy ×aGz = ax ay az . Тройное суммирование по целочисленным значениям

gx , g y , gz (см. (3)) заменено суммированием по векторам обратной решетки:

gG = 2πg

bG + 2πg

y

bG

+ 2πg bG .

(4)

 

x x

 

y

z z

 

Мы ввели gG аналогично (1),

как линейную комбинацию трех базисных векторов

обратной решетки 2π bGx , 2π bGy ,

2π bz ,

которые, в свою очередь,

выражаются через

базисные вектора прямой решетки. Очевидно, направления базисных векторов обратной решетки определяются ортами соответствующих базисных векторов прямой решетки:

 

 

 

aG

×aG

 

 

 

 

 

G

 

 

 

 

G

G

 

 

bG

=

 

 

y

z

 

,

bG

=

[az ×ax ]

 

,

bG

=

ax

×ay

 

. (5)

G

 

G

G

 

G G

G

 

G G

G

 

x

 

 

 

y

 

 

z

 

 

 

 

ax

ay ×az

 

 

 

ax ay

×az

 

 

 

ax ay ×az

 

Между базисными векторами обратной решетки ( 2πbx ,

2πby ,

2πbz ) и прямой решетки

( aGx , aGy , aGz ), существуют соотношения:

 

 

 

G

G

 

) = 2πδ

 

, i, j = x, y, z , где δ

 

- символ Кронекера.

(6)

(a

, 2πb

j

ij

ij

i

 

 

 

 

 

Основываясь на соотношении (6) легко получить для скалярного произведения любого вектора прямой решетки lG на произвольный вектор обратной решетки gG :

G G

 

(6’)

(l , g) = 2π (lx gx +ly g y +lz gz )= 2πN , где li , g j , N - целые числа.

 

Именно соотношения (6) дают основание рассматривать вектора из тройки

2πbi как

обратные величины по отношению к соответствующим базисным векторам aG

( i = x, y, z ).

i

 

 

Здесь мы ввели вектора 2πbGj и обратную решетку g как вспомогательный инструмент для

представления ряда Фурье (см. (3)) в случае прямоугольной решетки Бравэ. В случае произвольной (непрямоугольной) решетки, очевидно, остаются справедливыми приведенные выше суждения о периодичности физических величин в кристалле. Выразим базисные

вектора обратной решетки 2πbGj

 

( j =1, 2,3)

через базисные вектора прямой решетки ai

( i =1, 2,3 ) соотношениями:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

[aG2 ×aG3 ]

 

 

G

 

[a3

×aG1 ]

 

 

G

 

[a1 ×aG2 ]

 

 

b1 =

G

G

G

]

,

b2

=

G

G

G

]

,

b3

=

G

G

G

]

. (5’)

 

a1

[a2

×a3

 

 

 

a1 [a2 ×a3

 

 

 

a1

[a2

×a3

 

Для этой тройки векторов также справедливы соотношения типа (6), (aGi , 2πbGj ) = 2πδij , i, j =1,2,3 , где δij - символ Кронекера. Тогда функция, периодическая в косоугольной

системе координат, соответствующей некоторой решетке Бравэ, может быть представлена в виде:

G

G

GG

G

G G

GG

 

V (r )= V (g )exp(igr ),

V (g) =1

Ω Ω drV (r )exp(igr ) ,

(7)

 

gG

 

 

 

 

 

gG = 2πg1b1 + 2πg2bG2 + 2πg3bG3 , (8)

где g1 , g2 , g3 - целые числа, и Ω= a1 [aG2 ×aG3 ]. Действительно, сдвиг аргумента в (7) на

вектор решетки lG дает:

V (rG +lG)= V (gG)exp(igGGr ) exp(iglGG)= V (gG)exp(igGGr )=V (rG). (9)

g

g

Следует заметить, в случае произвольной (косоугольной) решетки направления векторов bG1 , bG2 , bG3 не совпадают с направлениями a1,aG2 ,aG3 , соответственно, как это имело место для

прямоугольной решетки.

Выше мы мотивировали введение обратной решетки с точки зрения удобства представления периодических функций координат в кристалле. На самом деле понятие обратной решетки в физике кристаллов востребовано более глубокими причинами. Определяющим параметром движения в кристалле, которое совершают частицы и возбуждения, является волновой вектор. Основная динамическая характеристика этих частиц и возбуждений заключена в законе дисперсии, зависимости их энергии от волнового вектора. Обратная решетка, соответствующая данной прямой решетке, как раз и определяет свойства периодичности закона дисперсии в пространстве волнового вектора.

Свойства обратной решетки.

1. Каждый вектор обратной решетки перпендикулярен определенному семейству плоскостей прямой решетки. Для доказательства этого утверждения воспользуемся

соотношением

G

G

 

 

 

+ly g y +lz gz )= 2πN , которое

 

можно

интерпретировать

(l , g) = 2π (lx gx

 

так: проекция вектора l

на направление

g равна

2πN

g

 

. Если мы найдем другой вектор

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lG' , который имеет такую же проекцию на направление g ,

что и l , это будет означать, что

два вектора ( lG' и lG)

задают положения узлов прямой решетки, лежащих в плоскости,

перпендикулярной

gG

(Рис.4).

 

Компоненты

 

l

можно

 

взять

равными l1' =l1 mg3 ,

l'

=l

2

mg

3

,

l' =l + m(g

+ g

2

) , где l , l , l

– компоненты l , а m - произвольное целое

2

 

 

 

3

3

1

 

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

число. Тогда, как легко проверить, (l ', gG) = (l , gG) = 2π (l g

 

+l

2

g

2

+l g

3

)= 2πN , где N -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

3

 

целое, т.е. вектора lG и l ' имеют одну и ту же проекцию на g . Следовательно, любой вектор

прямой решетки lG можно дополнить множеством векторов l ' (заметим, число m может быть любым) так, что все они будут лежать в плоскости прямой решетки, перпендикулярной вектору gG.

g

d’’

d

l

l’ l’’

Рис.4

2. Если компоненты вектора gG не имеют общего множителя, то абсолютная величина

2π g равна расстоянию

между соседними

плоскостями,

которым

этот

вектор

перпендикулярен. Снова воспользуемся соотношением (6). Выберем два вектора l

и l '' ,

удовлетворяющих равенствам

G

G

G

+1) (см. Рис.

4).

Легко

(l

, g) = 2πN и

(l '', g) = 2π(N

показать, что правые части этих выражений отличаются на 2π , если только

g1 ,

g2 , g3 не

имеют общего множителя.

 

 

 

 

 

Расстояние между плоскостями равно разности проекций l

'' и l на g :

d =l ''g lg =

2π(N +1)

2πN

=

2π .

g

g

 

 

 

g

3. Как мы убедимся в дальнейшем, в физике твердого тела особую роль играет элементарная ячейка обратной решетки. Если при этом элементарная ячейка взята в виде ячейки Вигнера-Зейтца, то она называется 1-ой зоной Бриллюэна (далее, зона Бриллюэна).

d1

d2

g2=(3,1,0)

g1=(1,0,0)

Рис.5.

Ниже мы увидим, что зоной Бриллюэна задается область волновых векторов, которыми идентифицируются колебательные и электронные состояния в кристалле. Объем элементарной ячейки обратной решетки обратно пропорционален объему элементарной ячейки прямой решетки: (2π)3 (bG1[bG2 ,bG3 ]) =8π3 / aGx aGy ×aGz =8π3 / Ω.

4. Прямая решетка является обратной по отношению к своей обратной решетке.

5. Из свойства 1 следует, что плоскость решетки может быть задана с помощью вектора обратной решетки. Покажем, что это эквивалентно использованию индексов Миллера в

классической кристаллографии. Пусть имеется плоскость решетки с нормалью gG, такая, что для всех узлов lG этой плоскости выполняется равенство (l , gG) = 2πN . Если взять на этой плоскости узел с компонентами l2 = l3 =0, то мы получаем d1 = N g1 a1 , где d1 - отрезок,

отсекаемый плоскостью на оси a1. Подобным образом эта плоскость отсечет ось a2 на

расстоянии d

 

= (

N

)a

 

, а ось a3 - на расстоянии

d

 

= (

N

)a

от начала координат. Таким

2

 

2

3

 

 

 

g2

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

g3

 

образом, мы видим, что отрезки, отсекаемые рассматриваемой плоскостью на координатных осях и измеренные в единицах длин соответствующих базисных векторов, обратно пропорциональны целым числам g1 , g2 , g3 . Эти целые числа после сокращения на общий множитель и представляют индексы Миллера данной плоскости ( g1 g2 g3 ), введенные в

классической кристаллографии. Два семейства плоскостей показаны на Рис. 5.

Соседние файлы в папке ФТТ_Садыков_2012