Fiz_Polupr_dlya_stud / ФТТ_Садыков_2012 / FTT_Sadykov_7

7. Оптические свойства полупроводников.

Коэффициент поглощения.

Под оптическими свойствами полупроводника подразумевается его способность менять характеристики светового излучения, которое с ним взаимодействует. В частности,

интенсивность I x излучения с плоским фронтом при прохождении через поглотитель меняется как:

	I x I 0 exp x ,		(7.1)
где -	линейный коэффициент поглощения (для твердых тел 103 104 см-1). Из (7.1)
следует:
	dI dx I d dt	c Q c .	(7.2)

Здесь мы использовали соотношение I x c для плоской волны и приравняли теряемую

излучением плотность мощности d dt удельной мощности Q , поглощаемой

полупроводником. Поглощение энергии излучения связано с различными электронными переходами (механизмами). Фотон может вызвать электронный переход зона-зона, что приводит к собственному поглощению (Рис. 7.1а). Электронным переходам с участием дискретных примесных уровней (Рис. 7.1б) соответствует примесное поглощение. Отметим также поглощение на свободных носителях; электрон (или дырка) поглощает фотон и увеличивает свою энергию, оставаясь в пределах зоны проводимости (или валентной зоны)

(Рис. 7.1в). Мы вычислим Q в предположении межзонных переходов.

Q

1

W

f E

1 f E

W

f E

1 f E

.

V

kk '

k

k '

k ' k

k '

k

kk '

Здесь Wkk ' - вероятность индуцированного перехода электрона из состояния k

валентной

зоны в состояние k ' зоны проводимости.

Суммирование по

k

и k '

проводится по зоне

Бриллюэна для кристалла единичного объема. Далее пользуемся свойством Wkk '

Wk 'k для

вероятности индуцированных светом переходов.

Q

1

W

f

E

f E

,

(7.3)

k '

V

kk '

k

kk '

Wkk '

2

ˆ

2

Ek ' Ek

.

k '

Hint

k

(7.4)

ˆ

Определим Hint - оператор взаимодействия электронной системы с полем излучения в

E0 exp ikphot r i t . Векторный

виде монохроматической плоской

волны

E

x,t

потенциал,

соответствующий

такому

полю

в

лоренцевой

калибровке

-

A x,t i cE0

exp ikphot r i t .

Известно,

что

оператор импульса частицы

в

электромагнитном

поле принимает

ˆ

ˆ

Дополнительные слагаемые

в

вид p p eA c .

операторе кинетической энергии, обусловленные векторным потенциалом (здесь в линейном

приближении) и составляют ˆ :

Hint

ˆ

e

ˆ

ˆ

e A

Hint

i

A A

i

.

(7.5)

2m c

m c

0

0

ˆ

, его матричный элемент между

Если использовать точное выражение для Hint

блоховскими состояниями k exp ikr Uk r равен:

k '		ˆ		k	i e E0		3	r exp i k ' k k phot r
		Hint				2m0 d
					*	2k kphot		ˆ		. (7.6)
					Uk '		2i Uk

Если используем для ˆ приближенное выражение (см. правую часть (7.5)), получим

Hint

k '	ˆ	k	i e E0	3	r exp i k ' k k phot r
	Hint			2m0 d
			*	ˆ		. (7.6’)
			Uk '	2k 2i Uk

Выражение (7.6) сводится к выражению (7.6’), если слагаемым k phot в квадратных скобках можно пренебречь. Как будет показано ниже, для оптических переходов действительно можно пренебречь k phot , поэтому мы примем приближение (7.5). Подставляя теперь все необходимое в (7.1), с учетом E02 8 , находим:

8

2

eE0

2

exp ikphot r

ˆ

2

k '

k

cE02V

m0

kk,

E

, E

f E

f E ,

.

(7.7)

k

k

k

k

ˆ

i

3

*

ˆ

k '

exp ikphot r

k

d

r exp i k ' k kphot r Uk ' k i Uk .

F r , а

В последнем интеграле обозначим

квадратную

скобку

как

экспоненту как

exp iKr . Интеграл не должен зависеть от выбора начала координат. Производя сдвиг

переменной

интегрирования на вектор

решетки

и имея в виду, что

F r – функция

периодическая c периодом решетки, можно записать:

F r exp

F r .

d 3r exp iKr

iKl

d 3r exp iKr

(7.8)

Из (7.8) следует закон сохранения квазиволнового вектора (квазиимпульса) при

k ' k kphot

g . Это соотношение необходимо учесть, прежде

оптических переходах, K

чем переписать (7.7) в окончательном виде. Для оптических фотонов (с энергией порядка

1eV ) k phot приблизительно на три порядка меньше волновых векторов электрона k и k ' ,

значения которых определяются размерами зоны Бриллюэна. Поэтому закон сохранения

квазиволнового вектора может быть взят

в приближении

k ' k

g , а при g 0 как

k ' k . Перепишем (7.7):

8

2

eE0

2

k ' k

pk 'k

2

Ek, Ek

f Ek f Ek, , (7.7’)

2

3

m0

cE0V

kk,

где введен матричный элемент оператора импульса

pk ' k i			ˆ
	k '				k .

С учетом символа Кронекера одно суммирование в (7.7’) снимается, далее переходя от суммирования к интегрированию в k – пространстве (и далее, в пространстве квазиимпульса p k ), получаем:

2e2

d 3 p

p

p

2

E

E

f E f

E

. (7.9)

3

cm2

cv

c

v

v

c

Вместо k и k '

введены состояния

v

и c ,

в валентной зоне и в зоне проводимости,

соответственно, зависящие от

p . Матричный элемент перехода зона-зона равен:

pcv p d

3

*

ˆ

i d

3

* ˆ

r Ukc r

k i Ukv

r

r

Ukc Ukv

, (7.10)

где упрощение в (7.10) произошло в силу ортогональности функций Блоха для различных зон [2].

3	*	r			3	*	r Ukv		0.
d	r Ukc		kUkv r		k d	r Ukc		r

Прямые оптические переходы.

Прямая и непрямая зонная структура полупроводников.

Выше мы убедились, что при оптических переходах волновые вектора начального и

конечного электронных состояний практически совпадают ( k ' k ). Поэтому оптические

переходы принято называть прямыми или вертикальными, поскольку значения электронной энергии в точках k и k ' в этом случае могут быть представлены на графике вертикальными линиями. Полупроводники, в свою очередь, делятся на прямозонные и непрямозонные в

зависимости от того, одной и той же точке зоны Бриллюэна p0 k0 соответствуют

экстремумы их валентной зоны и зоны проводимости, или нет. Два возможных случая представлены на Рис. 7.2а и 7.2б, соответственно, и для каждого из них показаны прямые оптические переходы. Примечательно, что для прямозонной структуры свет может вызвать

переход с потолка валентной зоны на	дно зоны проводимости, при энергиях фотона
Eg . Что касается непрямозонных	структур, здесь между экстремумами прямой

оптический переход невозможен, однако возможен непрямой (комбинированный) переход

(пунктирная линия на Рис.7.2б), в котором помимо фотона принимает участие фонон. Закон сохранения квазиволнового вектора теперь имеет вид k ' k kphon . Вероятность комбинированных переходов, как правило, меньше вероятности прямых переходов и поэтому значение коэффициента поглощения вблизи Eg для непрямозонных структур меньше, чем в случае прямозонных структур.

Вероятность оптических, следовательно, и значение для прямозонных структур

существенным образом зависит от того, каково значение матричного элемента оператора

импульса	pcv p , как функции квазиимпульса			(см. 7.10).	Представим pcv p , как
разложение в ряд Тейлора, вблизи экстремума p0 :
			p p0 .
	pcv p pcv p0 C				(7.11)
Если	pcv p0 0 , переход c v является			разрешенным, в противном случае –

переход запрещенный. Аналогом являются разрешенные и запрещенные оптические переходы в свободном атоме.

Если переход разрешенный, можно ограничиться первым слагаемым (7.11) при

интегрировании по

p в (7.9),

а если переход запрещенный, приходится учитывать вклад

второго члена разложения (7.11) и это приводит к значительно меньшим значениям .

Выражением (7.9) для

могут быть описаны межзонные оптические переходы в

полупроводниках при различных условиях. Интерес

представляют три случая, они

определяются

возможными значениями множителя f Ev f Ec .

1)

f Ev

1,

f Ec 0 – образец слабо легирован;

2)

f E =1,

f E =1

для E0 E E

и f

E =0

для E E

- сильное

v

c

c

c

max

c

c

max

легирование донорами;

3)

f Ev f Ec <0

–

сильно

неравновесная

система,

инверсия

заселенностей.

Рассмотрим случай 1. В прямозонных системах для разрешенных переходов перепишем (7.9) с учетом первого слагаемого в (7.11):

2e2

p

p

2

d

3 p E E

cm2

3

cv

0

c

v

.

(7.12)

2e2 2 3 2

2

1 2

pcv p0

Eg

cm2

3

Интеграл

в (7.12)

вычислен

с

учетом

сферического закона

дисперсии

для

зон

E p p 2

2m

и

E E

g

p p

2

2m и

введена приведенная

масса

c

0

c

v

0

v

(

1 m 1

m 1 ). Соотношением (7.12) определяется собственное или фундаментальное

c

v

поглощение. Значение

min Eg называют красной границей поглощения (см. Рис.7.3).

Рассмотрим вкратце случай запрещенных переходов (структура прямозонная). Теперь pcv p0 =0 и при интегрировании в (7.9) следует использовать второе слагаемое в (7.11).

Здесь поглощение на несколько порядков меньше, чем для разрешенных переходов, его зависимость от частоты света имеет вид:

1 Eg 32 . (7.13)

Рассмотрим непрямозонные структуры. Как было отмечено выше, оптические переходы между экстремумами непрямозонной структуры имеют комбинированный характер, т.е. они появляются во втором приближении теории возмущений, в них помимо фотона участвует фонон. Коэффициент поглощения в этом случае меньше, чем при прямых

разрешенных переходах, зависимость от частоты имеет вид:

		Eg		phon 2	для разрешенных переходов и
		Eg		phon 3	для запрещенных переходов (см. [2]).

Перейдем к случаю 2. Он интересен тем, что в отличие от (7.12) здесь имеет место сдвиг края собственного поглощения. Причина в вырожденном распределении электронов в зоне проводимости. Этот сдвиг известен как сдвиг Бурштейна (см. Рис. 7.3).

Отрицательный коэффициент поглощения.

Условие инверсии в полупроводниках.

Теперь проанализируем случай 3. При условии
f Ev f Ec <0	(7.14)
коэффициент поглощения отрицательный; свет,	распространяющийся в такой среде,

будет усиливаться. Среда, удовлетворяющая условию (7.14), является неравновесной.

Возможное распределение носителей для такой неравновесной среды					представлено на
Рис.7.4а.	Очевидно, что		индуцированное поглощение	при	энергии	фотона
min		max невозможно, тогда как индуцированное излучение возможно.				Такое
распределение носителей не может быть получено ни при каком				уровне Ферми, одинаковом
для обеих функций f Ev и			f Ec , как того требует условие равновесия в электронной
системе. Но если допустить,			что эти функции описывают две подсистемы электронов
(электронов различных зон),			для которых равновесие не предполагается, условие (7.14)

может выполняться естественным образом и оно теперь выражает степень нарушения равновесия между двумя электронными подсистемами. Это достигается введением двух различных квазиуровней Ферми FV и FС , для функций f Ev и f Ec , соответственно.

Это легко сделать на основе известных соотношений между концентрациями носителей в зонах и уровнем Ферми, полученных в предположении равновесия между зонами (Разд.3).

n Nc F1 2 , p Nv F12 i , F Ec kT . (7.15)

Концентрации носителей в зонах, представленные на Рис. 7.4а, соответствуют неравновесному состоянию системы. Таким неравновесным концентрациям носителей сопоставим функции распределения Ферми f E, FС ,V , квазиуровни Ферми которых FС ,V

связаны с неравновесными концентрациями соотношениями типа (7.15):

n Nc F12 C , p Nv F12 V i , С,V FС,V Ec kT . (7.15’)

Итак, для носителей в каждой зоне мы ввели отдельную функцию распределения со

своим значением квазиуровня Ферми FС ,V . Разумеется, введение различных параметров FС ,V

для зон означает отсутствие равновесия между зонами, но в то же время предполагается

равновесие внутри каждой зоны. На Рис 7.4б графически представлены функции f E, FС ,V , соответствующие Рис. 7.4а. Условие (7.14) через квазиуровни можно записать:

V

С

exp

E F

kT

1 1

exp

E

F

kT

1 1

,

которое сводится к неравенству

FС FV

Eg .

(7.16)

Это неравенство называют условием инверсии заселенностей для полупроводников, по аналогии с условием инверсии для оптических сред с дискретным спектром. Отметим, при восстановлении равновесия между электронами двух зон квазиуровни FС ,V , приближаясь друг к другу сливаются в единый уровень Ферми. Система, удовлетворяющая условию (7.16),

может быть использована в качестве активной среды для генераторов когерентного оптического излучения. Лазеры, работающие на полупроводниках (полупроводниковые лазеры), были предложены в начале 60 прошлого столетия. В настоящее время они находят широкое применение благодаря их уникальным свойствам.

Очевидно, выполнение условия (7.16) можно себе представить как расщепление уровня Ферми F , характеризующего равновесие в электронной системе полупроводника, на два

квазиуровня с заданным интервалом между ними под действием внешнего воздействия на систему – накачки. Наиболее простым механизмом достижения условия (7.16) оказалось пропускание тока через p n переход при прямом смещении на нем. Лазеры, работающие на этом принципе, называют инжекционными, поскольку расщепление квазиуровней,

необходимое для получения инверсии заселенностей, достигается инжекцией носителей через p n переход (см. Рис.7.5). На этом рисунке выделен слой p n перехода толщиной

l , где выполняется условие (7.16). Напомним, что на явлении электролюминесценции на p n переходах основан также принцип действия светодиодов. Следует сказать, что в

качестве рабочего вещества для инжекционных лазеров, как и для светодиодов, наиболее эффективно используются полупроводники с прямой зонной структурой с высоким квантовым выходом электролюминесценции. Рабочие характеристики инжекционных лазеров удалось значительно улучшить благодаря использованию гетеропереходов [2,5] и

двойных гетероструктур (Ж.И.Алферов, Х. Крѐмер, Дж.Килби, Нобелевская премия по физике 2000 г.).

r

Ec k '

Ev	r
	k
	a)	б)	в)

Рис. 7.1

а)	E k		б)	E k
			c
	c
Прямой	Eg		Прямой	Eg
			(вертикальный)
переход		k
			переход	k
	v		v	Непрямой
				(комбинированный)
				переход

Рис. 7.2

h

			сдвиг
			Бурштейна
0	Eg	Emax	h

Рис. 7.3

а)

б)

g (E)

f (E, Fc )

0

1

f (E, Fv )	g p (E)

Рис. 7.4

а)

б)

Рис. 7.5