c_Панков Практикум по АСП 22
.pdfопределяется числом исправных приборов. Написать прямые и обратные уравнения для переходных функций процесса t .
3.16 (Продолжение). Пусть Pi(x,t) - производящая функция распределения числа t исправных приборов в момент времени t при
условии, что в начальный момент было i исправных приборов. Получить дифференциальное уравнение в частных производных относительно функции Pi(x,t).
3.17 (Продолжение). Пусть Mi(t) означает математическое ожидание числа исправных приборов в момент времени t при условии, что в начальный момент было исправно i приборов. Составить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет Mi(t), и найти явное выражение для Mi(t).
3.18 (Продолжение). Найти явное выражение для Pi(x,t), решая дифференциальное уравнение из задачи 3.16. Дать веротностное объяснение полученного результата.
3.19 Имеется система из бесконечного числа обслуживающих устройств, в которую поступает простейший пуассоновский поток заявок на
обслуживание. Интенсивность входящего потока равна . Поступившая в систему заявка тотчас же принимается на обслуживание одним из свободных устройств. Время обслуживания в каждом устройстве случайно и распределено по эспоненциальному закону с параметром .
Обслуживание в различных устройствах происходит независимо. Состояние системы t в момент времени определяется числом устройств, занятых в это время обслуживанием. Составить системы прямых и обратных уравнений для переходных функций процесса t .
3.20 (Продолжение). Пусть Pi(x,t) - производящая функция распределения числа занятых устройств в момент времени t при условии, что в начальный момент было занято i устройств. Показать, что функция
|
Pi(x,t) |
удовлетворяет |
|
дифференциальному |
уравнению |
||||
|
Pi(x,t) |
1 x |
|
|
Pi(x,t) |
P(x,t) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
t |
|
|
x |
i |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.21 (Продолжение). Пусть |
Mi t означает математиче ожидание числа |
||||||||
занятых устройств в момент времени t при условии, что в начальный момент было занято t устройств. Получить дифференциальное уравнение для Mi t и найти явное выражение математического ожидания.
3.22 (продолжение). Решить дифференциальное уравнение из задачи 3.20 и найти явное выражение для переходных функций процесса t
(обратить внимание, что при условии 0 0 величина t имеет распределение Пуассона).
31
3.23(Продолжение). Найти стационарное распределение числа занятых устройств и показать, что стационарные вероятности совпадают с пределами переходных вероятностей при t .
3.24Простейший пуассоновский поток заявок на обслуживание с интенсивностью поступает в систему из a обслуживающих устройств. Поступившая в систему заявка тотчас же принимается на обслуживание одним из свободных устройств, если таковые есть в системе. Если в момент поступления заявки в систему все устройства заняты, то поступившая заявка не обслуживается и уходит из системы. Обслуживание в различных устройствах происходит независимо.Время обслуживания в каждом устройстве распределено экспоненциально с
параметром . Состояние системы t определяется числом устройств,
занятых обслуживанием в момент t. Составить системы прямых и обратных уравнений для переходных функций процесса t .
3.25(Продолжение). Найти стационарное распределение для числа занятых устройств.
3.26Простейший пуассоновский поток заявок с интенсивностью поступает на одно обслуживающее устройство. Время обслуживания распределено экспоненциально с параметром . Обслуженные заявки
покидают систему. Заявки, поступившие в момент, когда устройство занято, становятся в очередь. Состояние системы t определяется чис-
лом заявок, находящихся на обслуживании и стоящих в очереди. Составить прямые и обратные уравнения для переходных функций процесса t .
3.27(Продолжение). Найти стационарное распределении длины очереди, считая и заявку, находящуюся на обслуживали.
3.28Имеется колония частиц, которые размножаются путём деления на две. Каждая из частиц, после своего появления в колонии, претерпевает деление в случайный момент времени по следующему правилу: если частица еще не разделилась к моменту времени t и если в момент t в колонии реется n частиц, то вероятность того, что частица разделится в
интервале времени от t до t t равна n t o( t). Величины n называются интенсивностями рождения. Их зависимость от n отражает то обстоятельство, что общая численность колонии может ускорять или, наоборот, замедлять рождение новых частиц. Обозначим через t число
частиц в колонии в момент t. Марковский процесс t называется процессом чистого размножения. Составить системы прямых и обратных уравнений для переходных функций процесса t .
3.29 Процесс чистого размножения, отвечающий тому случаю, когда интенсивности делений частиц n не зависят от численности колонии, т.е.n , называется процессом Юла. Найти явное выражение для переходных функций такого процесса.
32
3.30 Найти выражение для переходных функций процесса чистого размножения в том случае, когда развитие колонии уменьшает интенсивность
размножения таким образом, что n . n
3.31 Пусть развитие колонии в процессе чистого размножения увеличивает интенсивность размножения таким образом, что n n. Показать, что в этом случае за любое конечное время с положительной вероятностью численность колонии становится бесконечной.
3.32 Имеется колония частиц, каждая из которых может либо разделиться на 2, либо погибнуть. Превращения частиц происходят независимо и таким образом, что на любом временном интервале (t,t t) частица, существующая в момент t, может разделиться на 2 с вероятностью t o( t) и погиьнуть с
вероятностью t o( t). Обозначим |
через t |
число частиц в колонии в |
|
момент t. Процесс t |
называется процессом размножения и гебели. |
||
Составить системы прямых и обратных уравнений для переходных |
|||
функций процесса t . |
|
|
|
3.33 (Продолжение) |
|
|
- производящая функция |
Пусть P(x,t) p (t)xj |
|||
|
i |
ij |
|
j 0
распределения численности колонии в момент t при условии, что развитие колонии начинается с i частиц. Показать, что Pi(x,t) P1(x,t) i .
Получить для функции P(x,t) P1(x,t) дифференциальные уравнения в частных производных, используя для этого соответственно прямые и обратные системы уравнений относительно переходных функций.
3.34(Продолжение). Вычислить математическое ожидание числа частиц в колонии в момент t при условии, что развитие колонии начинается с одной частицы. В этой и последующих задачах рассмотреть отдельно случаи и .
3.35(Продолжение). Вычислить дисперсию числа частиц в колонии в момент t при условии, что развитие колонии начинается с одной частицы.
3.36(Продолжение). Найти вероятности P1j (t) Pj(t), решая прямое
дифференциальное |
уравнение |
относительно |
производящей |
функции |
P(x,t). |
|
|
|
|
3.37 (Продолжение). |
Найти |
вероятности |
Pj (t), решая обратное |
|
дифференциальное |
уравнение |
относительно |
производящей |
функции |
P(x,t). |
|
|
|
|
3.38(Продолжение). Вычислить вероятность вырождения колонии и найти распределение времени до вырождения колонии. Найти математическое ожидание времени до вырождения колонии.
3.39(Непрерывный аналог модели Эренфестов). Имеется 2N шаров, занумерованных числами от 1 до 2N. В начальный момент времени каждый шар с равной вероятностью помещается в одну из двух урн. В
33
дальнейшем шары независимым образом перемещаются в случайные моменты времени в соответствии со следующим правилом: шар с
вероятностью |
|
1 |
t o( t) попадает |
из одной урны в другую |
в течении |
|||
2 |
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|||
интервала (t,t t) и с вероятностью |
1 |
t o( t) остаётся в той же урне. |
||||||
|
||||||||
Пусть t - |
|
|
|
2 |
|
|
||
число шаров в первой урне в момент времени t. |
Обозначим |
|||||||
Pij (t) P (t) j| (0) i . Доказать формулу
2N 1 i 2N i
j 0 Pij(t)xj 22N 1 e t 1 e t x 1 e t 1 e t x .
Указание: ввести случайные величины i , равные 1, если i-й шар в момент времени t находится в первой урне, и равные 0 в противном случае и
2N
рассмотреть t i
i 1
3.40 В аэропорт прибывает три простейших пуассоновских потока самолетов в среднем с интенсивностями 1, 2 и 2.5 самолетов за 30 мин. Найти наиболее вероятное число самолетов объединенного потока за один час. Какова вероятность того, что 1) за 20 минут прибудет 4 самолета; 2) за 10 мин появится хотя бы 1 самолет объединенного потока 3) за 2 часа прибудет четное число самолетов?
Решение. Сумма простейших пуассоновских потоков является простейшим пуассоновским потоком (пуассоновским процессом) с интенсивностью, равной сумме интенсивностей соответствующих потоков. Следовательно, интенсивность прибытия самолетов в аэропорт равна
1 2 2,5 11 (самолетов в минуту). 30 60
Согласно теореме 5.1 [3], случайная величина t , равная числу самолетов
прибывших в аэропорт за время t, имеет распределение Пуассона с параметром
t :
P t k t k e t , k 0 .
k!
Эту формулу принято называть формулой Пуассона.
Чтобы найти наиболее вероятное число самолетов объединенного потока за один час, равный 60 минутам сравним с единицей отношение
P 60 k |
|
60 k |
|
P 60 k 1 |
k! |
||
|
|
60 |
k 1 |
|
e 60 |
|
||
k 1 ! |
|||
|
|||
|
|
|
|
1 |
k 1 |
|
k 1 |
|
|
k 1 |
|
|
e t |
|
|
|
. |
||||
|
|
11 |
|
|
||||
|
60 |
60 |
11 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что при всех k<10 отношение меньше 1 (вероятности событий60 k 1 больше вероятностей событий 60 k ), а при всех k>10 –больше 1 (наоборот). Следовательно, наиболее вероятное число самолетов объединенного потока за один час равно 10 или 11.
34
|
P 60 10 11 10 |
e 11 |
11 11 e 11 P( 60 |
|
11) 0,119378. |
|||||||||||
1) По формуле Пуассона |
|
10! |
|
|
11! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4 20 |
4 |
|
11/3 |
4 |
|
11 |
|
|
|
|||||
|
P 20 |
|
e 20 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
3 0,1925. |
|||||||||||||
|
|
|
e |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
2) Появление за 10 |
минут |
хотя |
|
бы одного самолета означает, что 10 1 |
||||||||||||
.Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
0 10 |
0 |
|
|
|
|||||
P |
1 1 P |
|
|
1 1 P |
|
11 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
e 10 e 6 0,15988. |
||||||||||||||
10 |
|
10 |
|
|
|
10 |
|
0! |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3)P s 0 |
|
|
|
|
|
|
|
120 |
2s |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
: 120 2s P 120 2s |
e 120 e 22 ch22 0,5. |
|||||||||||||||
|
|
s 0 |
|
|
|
s 0 |
2s! |
|
|
|
|
|
|
|
||
3.41 Задан нестационарный пуассоновский поток с интенсивностью событий (t) 1 t /3. Найти вероятность того, что на участке времени от 0 до 3 мин. появится не менее двух событий.
Решение. В нестационарном пуассоновском потоке вероятность наступления k событий на некотором интервале t0;t0 τ вычисляется по формуле:
P t0;t0 τ |
= k |
ak |
e a , |
|
k! |
||||
|
|
|
где a есть математическое ожидание числа событий за указанный интервал, т.е.
|
|
|
t0 τ |
|
|
a a t0;t0 τ λ t dt. |
|||
|
|
|
t0 |
|
τ |
3 |
t |
|
|
В нашем случае:a λ t dt 1 |
|
dt 4,5. |
||
3 |
||||
0 |
0 |
|
||
Вероятность того, что на участке времени от 0 до 3 мин. появится не менее двух событий равна
P t0;t0 τ 2 1 P t0;t0 τ <2 1 P t0;t0 τ =0 P t0;t0 τ =1 .
Следовательно, |
2 1 4,5 0 |
|
4,5 1 |
|
P t0;t0 τ |
e 4,5 |
e 4,5 1 5,5 e 4,5 0,9389. |
||
|
0! |
|
1! |
|
3.42 Поток автомобилей, движущихся по шоссе, представляет собой поток Эрланга 4-го порядка с параметром 44 (авт/мин). Найти его интенсивность, плотность распределения,математическое ожидание и дисперсию участка времени между автомобилями в потоке, а также вероятность того, что за 4 сек. не проедет ни одного автомобиля.
Решение. Поток Эрланга 4 порядка с параметром получается из простейшего пуассоновского потока с интенсивндостью сохранением в нем каждого 4-го
события. Согласно свойствам потока Эрланга, его интенсивность 4 равна
35
|
|
|
|
44 |
11 |
(авт/мин). |
k |
|
|||||
k |
|
4 |
4 |
|
||
Согласно курсу дисциплины, участок времениTk T4 между автомобилями в потоке Эрланга 4-го порядка имеет плотность распределения:
pk x k -x1k!1 e x 4464 x3 e 44x p 4 x ,x 0,
а математическое ожидание и дисперсия равны:
ET |
|
k |
|
4 |
|
1 |
ET |
|
, DT |
|
k |
|
4 |
|
1 |
DT |
. |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
k |
|
44 11 |
4 |
|
k |
|
442 |
484 |
4 |
|
||||||||
Вероятность того, за 4 сек. (1/15 мин) не проедет ни одного автомобиля равна вероятности того, что участок времени между автомобилями в потоке более 4 сек.
1/15 |
1/15 |
44 |
4 |
x |
3 |
|
P T4 4 1 P T4 4 1 FT 4 4 1 pT4 |
x dx 1 |
|
|
e 44xdx. |
||
6 |
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
||
Получившийся интеграл можно найти непостредственно, а можно использовать свойство потока Эрланга k-го порядка, согласно для выполнения события T4 4требуется, чтобы на соответствующем интервале времени появилосься
не более k-1 события простейшего потока (см. задачу 10.13 [1]), поэтому, используя формулу Пуассона (1), получим
|
|
|
|
|
|
3 |
/15 |
m |
|
44 |
|
44 |
2 |
|
3 |
|
||
P |
T |
|
4 |
|
|
|
|
e /15 e 44/15 1 |
|
|
|
|
44 |
|
0,55. |
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|||||||||||
|
4 |
|
|
m! |
|
|
15 |
|
2 15 |
|
6 15 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
m 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.43 Рассматривается система с дискретными состояниями и непрерывным временем. Заданы размеченный граф состояний и интенсивности переходов.
1
S1 
S2
2 |
1 |
2 |
|
|
3 |
S3 
S4
4
Все потоки событий простейшие. Требуется: а) составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний, б) найти предельное стационарное распределение вероятностей:
Решение. Полагая систему с дискретными состояниями и непрерывным временем консервативной выпишем по размеченному графу для нее матрицу интенсивностей
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
1 |
4 |
3 |
0 |
|
|
. |
||||
2 |
0 |
6 |
4 |
|
|
|
0 |
2 |
0 |
2 |
|
|
|
||||
|
|
36 |
|
|
|
В матричном виде систему дифференциальных уравнений Колмогорова для системы с дискретными состояниями и непрерывным временем записывается как
' t t или ' t t ,
где (t) |
|
pij (t) |
|
- матричная переходная функция ' t || pij '(t)|| - матрица, |
|
|
|
|
N,N |
|
|
|
|
состоящая из производных переходных функций с начальными условиями0 EN N - единичная матрица порядка N 4.
По свойствам предельных стационарных распределений, если начальное распределение равно стационарному, то pij(t) pj -не зависит от tи отi, а также
pij '(t) 0.
Тогда система дифференциальных уравнений Колмогорова ' t t
эквивалентна системе для неизвестного предельного стационарного распределения вероятностей p p1;...;pN , где N=4
|
|
|
|
или T |
|
T |
|
|
T . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
p |
p |
0 |
|
|
3 1 1 |
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решением данной системы с условием pk |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 являетя вектор |
p |
|
; |
|
; |
|
; |
|
. |
||||||||||
7 |
|
|
7 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
7 7 |
|
|
|||||
3.44В аэропорт прибывает два простейших потока самолетов с интенсивностями в среднем 3 и 2,5 самолета за час. Найти вероятность того, что за полчаса прибудет не более 4 самолетов объединенного потока. Найти наиболее вероятное число прибывающих самолетов объединенного потока за 3 часа.
3.45Устройство состоит из трех узлов, причем первый узел в среднем отказывает 1 раз в месяц, второй – 1 раз в полтора месяца, а третий – 1 раз за два месяца. Потоки отказов узлов простейшие. Найти вероятности того, что за месяц устройство а) откажет ровно один раз, б) откажет хотя бы два раза. Найти наиболее вероятное число отказов за 3 месяца.
3.46В результате статистической обработки промежутков времени T между заявками в потоке получены оценки для математического ожидания и
дисперсии величины T : t 1.8 (мин), Dt 0,27 (мин2). Заменить этот поток нормированным потоком Эрланга с теми же характеристиками. Написать плотность распределения величины T .
3.47 Рассматривается система с дискретными состояниями и непрерывным временем. Заданы размеченный граф состояний и интенсивности переходов. Все потоки событий простейшие. Требуется: а) составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний, б) найти предельное стационарное распределение вероятностей.
|
|
1 |
|
|
|
S1 |
S2 |
||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
||
|
|
3 |
|
|
S3 
S4
4
37
3.48На АТС поступает простейший поток вызовов с интенсивностью 5 вызовов за 2 секунды. Найти вероятность того, что за 4 секунды: а) придет хотя бы два вызова, б) придет четное число вызовов. Найти наиболее вероятное число вызовов за 7 секунд.
3.49Поток автомобилей, движущихся по шоссе в одном направлении, является потоком Эрланга 5-го порядка с параметром 40 авт/мин. Найти интенсивность данного потока, плотность распределения, математическое ожидание и дисперсию участка времени между автомобилями в потоке.
3.50По шоссе в одном направлении движется два простейших потока автомобилей с интенсивностями 1 1.5 (авт/мин) и 2 3 (авт/мин). Найти
наиболее вероятное число автомобилей объединенного потока за 5 минут, а также вероятность этого числа. Найти вероятность того, что за 6 минут проедет нечетное число автомобилей объединенного потока.
3.51 Пассажир выходит на остановку автобуса в момент времени, никак не связанный с расписанием. Поток автобусов представляет собой поток Эрланга 2-го порядка с параметром 12 авт/час. Найти плотность распределения и математическое ожидание того участка времени T* между автобусами, на который попал пассажир.
3.52Система представляет собой простейший пуассоновский поток отказов радиотехнической системы с интенсивностью 0,1 отказа в мин. Найти вероятность того, что а) за 1 час работы наступит более одного отказа, б) за 2 час не будет ни одного отказа, в) за полчаса будет четное число отказов. Найти наиболее вероятное число отказов.
3.53Задан нестационарный пуассоновский поток с интенсивностью событий
(t) 1.5 0.5t. Найти вероятность того, что на участке времени от t0 1.5 до t0 3.5 появится не меньше трех событий.
3.54 В систему массового обслуживания (СМО) поступает в среднем заявок в час. Найти вероятность того, что за время t минут в СМО поступит: а) ровно k заявок, б) менее k заявок, в) нечетное число заявок: 30, t 4, k 4.
3.55 В результате статистической обработки промежутков между заявками в потоке получены оценки для математического ожидания и дисперсии величины T : mt 2 (мин), Dt 2 (мин2). Заменить этот поток нормированным потоком Эрланга с теми же характеристиками. Написать плотность распределения интервала времени между соседними событиями в данном потоке.
3.56 Рассматривается система с дискретными состояниями и непрерывным временем. Заданы размеченный граф состояний и интенсивности переходов. Все потоки событий простейшие. Требуется: а) составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний, б) найти предельное стационарное распределение вероятностей.
38
|
|
S1 |
|
|
|
S2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
1 |
||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
S3 |
|
|
S4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
3.57 Испытывают три элемента, работающие независимо друг от друга. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону и равна t1 8, t2 4 и t3 5 часа. Для каждого случая
найти вероятность того, что в интервале времени 0,tотк откажут: а) только
один элемент, б) не более 2-х элементов в) все три элемента. (tотк 5)
3.58 Поток автомобилей, движущихся по шоссе в одном направлении, является простейшим потоком с интенсивностью 5 авт/мин. Инспектор выходит на шоссе, чтобы остановить первый попавшийся автомобиль. Найти плотность распределения того интервала T* между автомобилями, на который попадет инспектор, его математическое ожидание и дисперсию.
3.59 В СМО поступает в среднем 30 заявок в час. Найти вероятность того, что за время t 4 минуты в СМО поступит: а) ровно 4 заявки, б) менее 4 заявок, в) более 3 заявок; г) нечетное число заявок за 10 минут.
3.60 Поток автомобилей, движущихся по шоссе в одном направлении, является потоком Эрланга 3-го порядка с интенсивностью 12 авт/мин. Инспектор выходит на шоссе, чтобы остановить первый попавшийся автомобиль. Найти плотность распределения того интервала времени T* между автомобилями, на который попадет инспектор и вероятность того, что за 2 минуты не проедет ни одного автомобиля.
3.61 Рассматривается система с дискретными состояниями и непрерывным временем. Заданы размеченный граф состояний и интенсивности переходов. Все потоки событий простейшие. Требуется: а) составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний, б) найти предельное стационарное распределение вероятностей.
|
|
S1 |
|
|
|
S2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
1 |
||||
3
S3 S4
3.62 Испытывают три элемента, работающие независимо друг от друга. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону и равна t1 10, t2 5 и t3 4 часа. Для каждого случая
найти вероятность того, что в интервале времени 0, 5 откажут: а) только один элемент, б) не более 2-х элементов в) все три элемента.
39
3.63 Задан нестационарный пуассоновский поток с интенсивностью событий(t) 1 t. Найти вероятность того, что на участке времени от t0 0.5 до t0 2 появится больше трех событий.
3.64В аэропорт прибывает простейший поток самолетов, в среднем 2 самолета за 5 минут. Найти вероятность того, что а) за 10 минут прибудет не менее 3 самолетов; б) за 20 минут прибудет не более 5 самолетов; в) за 5 минут прибудет нечетное число самолетов.
3.65Задан нестационарный пуассоновский поток с интенсивностью событий(t) 0.5 2t . Найти вероятность того, что на участке времени от 0.5 до 1.5
появится не более двух событий.
3.66На АТС поступает простейший поток вызовов с интенсивностью 2 вызова в минуту. Найти вероятность того, что за 3 минуты а) не придет ни одного вызова, б) придет хотя бы 1 вызов, в) придет четное число вызовов.
3.67Задан нестационарный пуассоновский поток с интенсивностью событий
(t) 1 2t. Найти вероятность того, что |
на участке времени от 0 до 2 |
появится не менее трех событий.
3.68На АТС поступает простейший поток вызовов с интенсивностью 2 вызова в минуту. Найти вероятность того, что за время t=3 минуты: а) не придет ни одного вызова, б) придет ровно 5 вызовов, в) менее 5 вызовов, г) четное число вызовов.
3.69Производится детерминированное прореживание простейшего потока с
интенсивностью 7 на три потока: если номер события имеет вид 3k l, l 1,2,3, k 0,1,2,..., то это событие направляется соответственно в канал с номером l. Какое распределение и мат.ож. имеют промежутки между событиями в каждом из новых потоков?
3.70 Рассматривается система с дискретными состояниями и непрерывным временем. Заданы размеченный граф состояний и интенсивности переходов. Все потоки событий простейшие. Требуется: а) составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний, б) найти предельное стационарное распределение вероятностей.
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
2 |
3 |
|||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 
4
2
3.71 Система представляет собой простейший поток отказов радиотехнической системы с интенсивностью 0,001 отказа в час. Найти вероятность того, что 300 часов работы наступит: а) не более 3 отказов; б) больше одного отказа; в) четное число отказов.
40