Лекции / 12
.pdf
Тема№12: Исследование функции с помощью производной
Справочный материал
Монотонность
Функция |
y= f (x) |
называется возрастающей на интервале из области
определения функции,
соответствует |
большее |
Функция |
y= f (x |
|
если большему значению аргумента из этого интервала |
значение функции. |
|
) |
называется убывающей на интервале из области |
определения функции, если большему значению аргумента из этого интервала соответствует меньшее значение функции.
Если функция возрастающая или убывающая или постоянная на интервале, она называется монотонной на нем. Если интервал не указан, то подразумевается монотонность во всей области определения.
У функции обычно выделяют следующие особенности поведения при изучении свойства монотонности:
• интервалы монотонности (убывания, возрастания или постоянства);
• точки экстремумов (особые точки из области определения, в которых функция меняет тип монотонности): в точке максимума возрастание сменяется убыванием, в точке минимума наоборот; значения функции в точках экстремумов называют экстремумами;
План исследования функции y= f (x) на монотонность и экстремумы:
1)
2)
3)
4)
Найти |
D( f ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x). |
|
|
|
|
|
|
|
||
Внутри |
D( f ) |
найти критические точки, в которых |
f |
|
|
|
|||
(x)=0 f |
(x). |
||||||||
Критическими |
точками разбить |
D( f ) |
на интервалы |
и определить знак |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
производной на каждом из них. Если |
y= f |
|
x на интервале, если |
|||||||
f (x) 0 , то |
|
|||||||||
|
на интервале. |
|
|
|
|
|
|
|||
f (x) 0 , то y= f (x) |
|
|
|
|
|
|
||||
5) Если в критической точке |
x1 |
производная изменяет знак с «+» на «-», то x1 - |
||||||||
точка максимума и y |
|
= f (x |
), если |
с «-» на «+», то |
|
x |
2 |
- точка минимума и |
||
max |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
ymin = f (x2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задания:
12.1. Исследуйте на монотонность и экстремумы функции:
|
x |
|
|
|
||
а) y = |
e |
; |
б) y = x(1 + |
|
); |
|
x |
||||||
x |
||||||
в) y = 2 − 3x + x3 ; |
г) y = −2x3 + 9x2 −12x . |
|||||
Справочный материал
Выпуклость и точки перегиба графика функции
Функция
y= f (x)
называется выпуклой на интервале из области определения
функции, если касательная к графику функции, проведенная в любой внутренней точке этого промежутка, расположена выше графика.
Функция y= f (x) называется вогнутой на интервале из области определения
функции, если касательная к графику функции, проведенная в любой внутренней точке этого промежутка, расположена ниже графика.
|
У функции выделяют следующие особенности при изучении выпуклости: |
|||
• |
интервалы выпуклости; |
|||
• |
особые точки из области определения, в которых функция меняет тип |
|||
|
выпуклости, т.е. вогнутость сменяется выпуклостью или наоборот (их |
|||
|
называют точками перегиба графика). |
|||
|
План исследования функции y= f (x) на выпуклость: |
|||
1) |
Найти |
D( f ). |
|
|
2) |
Найти |
f |
|
|
(x). |
|
|||
3) |
Внутри |
D( f ) |
найти критические точки второго рода, в которых |
|
|
f (x) = 0 f (x) . |
|||
4) |
Критическими точками второго рода разбить D( f ) на интервалы и определить |
|||
|
|
|
|
, то |
y |
знак второй производной на каждом из них. Если f (x) 0 |
|||||
|
, то |
y = f (x) на интервале. |
|
|
|
интервале, если f (x) 0 |
|
|
|||
5) Если в критической точке |
x |
0 |
вторая производная изменяет знак, |
||
|
|
|
|
|
|
перегиба графика функции. Вычислить f (x0 ). |
|
|
|||
Задания:
12.2. Исследуйте функции на выпуклость и точки перегиба:
а) |
f (x)= xe |
x |
; |
|
б) |
f (x)= |
3 − 4x |
; |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
+ 5x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) |
|
|
3 |
; |
г) |
f (x)= x |
3 |
− 6x |
2 |
. |
||
f (x)= x(x −1) |
|
|
||||||||||
=
то
f (x) |
на |
||
x |
0 |
- точка |
|
|
|
|
|