Лекции / 13
.pdf
Тема№13: Неопределенный интеграл: таблица, правила интегрирования, внесение под знак дифференциала
Справочный материал
|
Функция |
F(x) называется первообразной функцией для функции |
|||||||||||
на |
промежутке |
X D( f ), если в |
каждой |
точке |
x0 |
Х |
верно |
||||||
F (x0 )= f (x0 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Множество |
всех первообразных |
F(x) + с |
для |
функции |
y = |
|||||||
промежутке |
|
X D( f ) |
называется |
неопределенным |
интегралом |
||||||||
y = |
f (x) на этом промежутке и обозначается |
f (x)dx . |
|
|
|
|
|||||||
|
В формуле, выражающей определение |
f (x)dx = F (x) + c : |
|
|
|||||||||
|
f (x)dx |
- неопределенный интеграл функции y = f (x) ; |
|
|
|||||||||
|
f (x)dx - подынтегральное выражение; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
f (x) - подынтегральная функция; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
- переменная интегрирования; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dx |
- дифференциал переменной интегрирования; |
|
|
|
|
|||||||
|
F(x) - любая первообразная для функции |
y = |
f (x) |
; |
|
|
|
||||||
|
c - произвольная постоянная; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
F(x) + с |
- множество всех первообразных для функции y = |
f (x) . |
||||||||||
y = |
f (x) |
равенство
f (x) |
на |
функции
Искать неопределенный интеграл в простейших случаях можно с помощью таблицы. Если подынтегральная функция составлена из «табличных» функций с помощью операций сложения, вычитания и умножения на число, то используются
правила интегрирования:
•
•
kff
( (
x x
)dx=k f )+ (x)−
(x)dx, g(x) dx
k=const 0
=f (x)dx+
; (x)dx− g(x)dx
.
Задания
13.1.Найдите неопределенные интегралы с помощью таблицы, правил интегрирования, свойств корней и степеней, и др.:
а) в)
3.4x |
−1.17 |
dx; |
|
|||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
+ |
|
|
|
|
− 3 dx ; |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
x |
|
||
|
|
|
|
|
||||
б) (2 y −e y )dy ;
г) (3 
x −7 
x2 )dx;
д) |
|
du |
; |
е) 7 x ex dx ; |
ж) 42x dx . |
|
u 2 |
||||||
|
|
|
|
|
13.2.Найдите неопределенные интегралы, преобразуя подынтегральную функцию:
а) (x−2)2 dx ;
|
|
1− z |
2 |
||
в) |
dz ; |
||||
|
z |
|
|||
|
|
|
|
||
Справочный материал
б)
г)
( |
x +1)(x |
|||
|
(1 − x) |
2 |
||
|
dx |
|||
x |
x |
|||
|
|
|||
− |
x |
.
+
1)dx
;
Равенства из таблицы интегралов остаются справедливыми, если переменную x в них заменить на любую другую, например, t , в т.ч. на зависимую переменную
y = (t ) . Эта особенность называется инвариантностью формы неопределенного интеграла.
С помощью свойства дифференциала
dx= |
1 |
|
k |
||
|
d (k x+b)
, где
k
0,b=const
, можно
вносить постоянные под знак дифференциала, чтобы использовать инвариантность формы неопределенного интеграла.
Задания
13.3.Найдите неопределенные интегралы, используя инвариантность их формы и внесение под знак дифференциала:
а)
в)
д)
ж)
и)
|
1−3x |
dx |
; |
|
||
e |
|
|
||||
(x + |
|
15 |
|
|||
4) |
|
dx |
||||
|
2dx |
; |
|
|||
7 |
−5x |
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
16x |
2 |
−1 |
|||
|
|
|||||
|
|
|
||||
dx
16x2 −1 ;
;
;
б) |
|
|
dx |
; |
|
|
|
||
|
2 |
x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
г) |
|
|
|
|
dx |
; |
|||
|
36x |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
+ 49 |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
е) |
|
|
|
|
dx |
; |
|||
|
(2x + 3) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
з) |
|
|
|
|
|
|
7 |
dx ; |
|
9 |
(1− 4x) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
к) |
|
sin (3x −8)dx |
|||||||
.