Лекции / 14
.pdf
Тема№14: Неопределенный интеграл: интегрирование по частям
Справочный материал
Если подынтегральное выражение можно представить в виде произведения
u=(x) |
- некоторые функции, у которых существуют производные по |
||||||
u dv , где |
v=G(x) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
переменной x , то применяют формулу интегрирования по частям: |
|
||||||
|
|
|
f (x)dx = u dv = u v − v du . |
|
|
|
|
Для составления формулы потребуется по известному |
u |
найти |
du , а по |
||||
известному |
dv найти |
v : |
|
|
|
|
|
|
|
|
u=(x) |
du=u dx |
|
|
|
|
|
|
dv=g(x)dx |
x |
|
|
|
|
|
|
v= g(x)dx=G(x) |
|
|
|
|
Рекомендации по выбору частей
u
и
dv
смногочленом
P |
|
(x) = a |
|
+ a x + a |
|
x |
2 |
+ ... + a |
|
x |
n |
п |
0 |
2 |
|
n |
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
в подынтегральном выражении:
u =P(x) |
dv=P(x)dx |
||
P(x)cosaxdx |
P(x)arccosaxdx |
||
P(x)sin axdx |
P(x)arcsinaxdx |
||
P(x)e |
x |
dx |
P(x)arctgaxdx |
|
|||
P(x)a |
x |
dx |
P(x)arcctgaxdx |
|
|||
a,b=const 0 |
P(x)ln axdx |
||
a,b 1 |
|
P(x)logb axdx |
|
Иногда требуется проинтегрировать по частям несколько раз подряд и упрощать подынтегральные функции с помощью тригонометрических формул
понижения степени и преобразования произведения в сумму. |
||||||
|
|
|
|
sin sin = |
cos( − )−cos( + ) |
|
|
|
|
1+cos2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||
cos |
= |
2 |
cos cos = |
|
cos( − )+cos( + ) |
|
|
|
|
|
|
||
sin |
2 |
= |
1−cos2 |
|
|
2 |
|
2 |
sin cos = |
sin( − )+sin( + ) |
|||
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Задания
14.1.Найдите неопределенные интегралы с помощью интегрирования по частям:
а) (x −4)cos x dx ; |
б) lg xdx ; |
в) xsin xcos7xdx; |
г) ex sin x dx ; |
д)
x ln |
1− |
||
1 |
+ |
||
|
|||
x x
dx
;
е)
(x 2
−1)3 |
x |
|
dx
.
14.2. Найдите неопределенные интегралы:
а) x3e x dx ;
в) x2 sin xdx ;
д)
2 |
x |
|
cos x
б) x cos(4x + 5)dx ;
г) x cos2 xdx.
dx .