Лекции / 16
.pdf
Тема№16. Неопределенный интеграл: простейшие рациональные дроби
Справочный материал
|
|
Если квадратный трехчлен |
ax |
2 |
|
|
|
||
ax |
2 |
+bx +c=a(x−x1 )(x−x2 ), то дроби |
||
|
|
|
|
|
+ bx
под
+ c |
можно разложить |
знаком интеграла III
на множители
|
|
Adx |
и |
2 |
|
||
ax |
+bx+c |
|
|
|
|
IV
|
Bx+C |
dx; |
B, C, a, c = const 0; b = const |
|||
ax |
2 |
+bx+c |
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
представимы в виде суммы
A
дробей типа I k x+b :
и 
.
Задания
16.1.Найдите неопределенные интегралы путем представления в виде суммы дробей I:
а) |
|
2х −1 |
dx ; |
|
|
|
|
|
б) |
2x + 3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
; |
|
|
|
|
|
г) |
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ 3х − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
|
x |
2 |
+ 3x + 2 |
dx |
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Справочный материал
x
x
2
2
dx
+3x −10
x− 2
−7x +12
;
dx
;
Если квадратный трехчлен ax выделяется полный квадрат, чтобы
2 |
+ bx + c |
не разложим |
|
с помощью внесения
на множители, то в нем под знак дифференциала
интеграл
|
|
Adx |
; |
A, a, c = const 0; b = const |
2 |
|
|||
ax |
+bx+c |
|
|
|
|
|
|
привести к табличному вида 7).
Аналогично дроби |
|
|
Adx |
|
сводят к 9). |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ax2 +bx+c |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16.2. Найдите неопределенные интегралы: |
|
|
|
|||||||||||
а) |
|
|
dx |
|
|
; |
|
б) |
|
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
2 |
− 6x |
+ 25 |
|
|
|
|
|
||||||
|
x2 |
+ 4x − 5 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Справочный материал
Для интеграла
|
Bx+C |
dx; |
B, C, a, c = const 0; b = const |
|||
ax |
2 |
+bx+c |
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
находят
|
( |
|
|
|
|
|
производную знаменателя |
|
2 |
+bx +c |
) |
= |
|
ax |
|
|
||||
чего переходят к сумме |
интегралов, |
|||||
2ах + b
один
и выделяют ее в числителе, после из которых после подстановки
t = ax |
2 |
+ bx + c |
сводится |
|
|
|
|||
Аналогично интегрируют |
|
|||
Задания
к табличному 5), а второй относится к III типу.
Bx+C |
dx . |
||
|
2 |
|
|
ax |
+bx+c |
|
|
|
|
||
16.3. Найдите неопределенные интегралы: |
|
|
|||||||||
а) |
|
|
x +1 |
dx ; |
|
|
|
б) |
|
3x −1 |
|
5x |
2 |
|
|
|
|
2 |
− 4x +17 |
||||
|
|
+ 2x +1 |
|
|
|
4x |
|
||||
|
|
|
|
в) |
|
3x + 2 |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x 2 |
+ x + 2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
16.4. Найдите неопределенные интегралы:
dx
;
а)
в)
д)
x2
2x x
x2
dx |
; |
− 7x +10 |
3 − 4x |
dx ; |
|||
2 |
− |
|
||
3x +1 |
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
+ х −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
+ 4x +12 |
; |
|||
|
||||
б)
г)
е)
|
|
x |
2 |
dx |
|
|
|
|
|
; |
|||
x |
2 |
+ 3x −10 |
||||
|
||||||
|
|
|||||
|
|
dx |
x |
2 |
− 6x +18 |
|
.