Лекции / 17
.pdf
Тема№17: Определенный интеграл
Справочный материал
Если y= f (x) |
непрерывна на отрезке a,b , а F(x) |
- любая первообразная |
||||||
|
y= f (x) на |
|
|
|
|
|
|
|
функции |
a,b |
|
, то определенный интеграл этой функции на данном |
|||||
отрезке равен разности значений первообразной в точках b |
и a : |
|||||||
b |
f (x)dx = F(b) − |
F(a) = F(x) |
b |
|
|
|||
|
- формула Ньютона-Лейбница, |
|||||||
a |
||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
при этом |
y= f (x) |
называют интегрируемой на отрезке |
a,b , числа |
b |
и |
a |
называют пределами интегрирования.
В простейших случаях первообразную можно найти из таблицы интегралов, в том числе, с использованием инвариантности формы и правил интегрирования:
|
b |
1) |
|
|
( |
) |
b |
|
( |
) |
|
|
|
|
|
||||
k f |
|
x dx = k |
|
f |
|
x dx; |
k = const 0 |
|
a |
|
b |
2) |
|
a |
|
|
b |
b |
b |
f (x)+ (x)−g(x) dx= f (x)dx+ |
(x)dx− g(x)dx; |
|
a
3)b f ( a
|
b |
f ( |
4) |
|
|
a |
a |
a |
x)dx=c f (x)dx+b f (x)dx; |
a,b,c |
|
|
a |
c |
|
|
|
a |
|
|
x)dx=− f (x)dx. |
|
|
|
a |
b |
Задания
17.1. Найдите определенные интегралы:
а)
г)
0 |
t 2dt+1 ; |
|
1 |
|
|
4 |
1 + |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
u |
2 |
|
du ; |
|
|
|
||
1 |
|
|
|
2
ж) 23x−4 dx ;
1
б)
д)
3 |
dx |
|
x |
2 |
; |
|||
0 |
|
+1 |
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
y +1 dy ; |
||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
y |
|
|
з)
|
8 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
dx |
|
||
в) |
|
5 |
|
; |
|||
|
|
|
|
||||
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
е) |
sin 2xdx ; |
||||||
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
dx |
|
|
|
|
3 |
|
. |
x2 − 3x + 2 |
||
Справочный материал
При замене переменной в определенном интеграле нужно выразить пределы
интегрирования |
|
Задания
и |
для новой переменной через старые: |
t
= (x)
=(b)
=(a)
.
17.2.Найдите определенные интегралы, используя замену переменной:
|
e |
2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
; |
|
|
|
e |
x ln x |
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
4 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||
в) |
|
1 |
+ |
2x +1 |
; |
|
|
0 |
|
||||
Справочный материал
б)
г)
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
sin |
x cos |
|||||
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
−x |
2 |
|
|
|
|
xe |
dx |
. |
|||
|
|
|||||
|
|
|||||
|
|
|
|
|||
−2 |
|
|
|
|
|
|
xdx
;
Если подынтегральное выражение можно представить в виде произведения
u dv , где |
u=(x) |
|
|
|
a,b |
|
существует |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
- некоторые функции, у которых на отрезке |
|
||||||
|
v=G(x) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
b |
b |
b |
|
|
|
производная, то |
|
f (x)dx= u dv=uv |
− vdu . |
|
|
|
|||
a |
|
|
|
||||||
|
|
a |
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задания
17.3.Найдите определенные интегралы, используя интегрирование по частям:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
x sin x dx ; |
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
x |
|
|
|
в) |
|
x |
e |
dx |
; |
|||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
б)
г)
|
3 |
|
|
arctgx dx |
|||
0 |
|
|
|
e |
|
|
. |
|
ln |
y dy |
|
|
|
||
1 |
|
|
|
;