Лекции / 18
.pdf
Тема№18: Несобственный интеграл (первого рода)
Справочный материал
Предел |
+ f (x)dx = lim |
t |
f (x)dx называется |
несобственным |
интегралом |
|||||||
|
a |
t →+ a |
|
) |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|||
первого рода функции |
y = f |
|
x |
|
, |
непрерывной |
на |
полуинтервале |
a, |
|
. Если |
|
t |
f (x)dx существует и |
+ |
f (x)dx называется сходящимся, |
|||||||||
предел lim |
конечен, то |
|||||||||||
t→+ a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
а если предел
расходящимся.
|
|
|
+ |
f (x)dx |
|
|
|
не существует или |
бесконечен, то |
|
|
называется |
|||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
b |
f (x)dx = lim |
b |
f (x)dx . |
||
Аналогично сходится |
или расходится |
|
|
||||
|
|
− |
|
t →− |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Интеграл
+ |
f (x)dx = |
c |
f (x)dx + |
+ |
f (x)dx |
|
|
|
|||
− |
|
− |
|
c |
|
сходится, если сходится каждый из
интегралов в сумме.
Задания
18.1. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:
|
+ |
x |
2 |
+1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 x |
|
|
||||||||||||
а) |
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
б) |
|
|
|
|
; |
|
|
в) |
e |
dx |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
2 |
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
dx |
|
|
+ |
|
|
|
dx |
|
||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
г) |
|
e |
dx |
; |
|
|
|
|
д) |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
е) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ 2x + 5 |
|
|
(x +1) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x |
|
|
|
0 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
+ |
arctgx |
|
|
|
|
+ |
|
x |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
dx |
|
|||||||||||
ж) |
|
dx |
; |
|
з) |
|
|
|
dx |
; |
|
и) |
|
|
|
; |
||||||||||||||
x |
2 |
+1 |
|
1 |
+ x |
|
x |
2 |
+ x |
|||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
−4 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
к) |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
+ 2x − |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
;