Лекции / 19
.pdf
Тема№19: Приложения определенных интегралов
Справочный материал
Определенный интеграл от непрерывной на a,b функции y = f (x) 0 площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком y = f (x) , осью
равен
Оx |
и |
прямыми
x=a
,
x =b
, т.е.
.
Простой (относительно какой-либо координатной оси) будем считать такую плоскую фигуру, границы которой любой луч, перпендикулярный координатной оси, пересекает не более двух раз (кроме границ, перпендикулярных оси). Фигуры, не являющиеся простыми, разбивают на простые непересекающиеся части.
Если простая относительно оси |
Оx плоская |
y |
y=f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
фигура ограничена кривыми |
|
на отрезке |
|
|
a,b и прямыми x=a , x =b |
, перпендикулярными оси |
|
|
|
Оx |
, тогда площадь фигуры вычисляется по формуле |
0 |
||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = |
f 2 (x)− f1 (x) dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
простая относительно |
|
оси |
плоская |
|
||||||||
фигура ограничена кривыми |
|
|
|
|
|
|
на отрезке |
|
||||||
|
и прямыми |
, |
|
|
|
|
, |
перпендикулярными |
|
|||||
оси |
, тогда ее площадь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||
|
Если на отрезке a,b |
функция y = f (x) |
y |
|
||||||||||
непрерывна и не изменяет знак, тогда объем |
|
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||
тела, образованного вращением вокруг оси Оx |
|
|
||||||||||||
криволинейной |
трапеции, |
|
|
ограниченной |
|
|
||||||||
линиями |
y = f |
(x) , |
|
|
|
|
y =0, |
|
x=a, |
x=b , |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
f 2 |
( |
|
|
|
|
вычисляется по формуле: |
V |
x |
= |
|
x dx |
|
|
a |
||||||
|
|
|
|
) . |
|
O |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если на отрезке 
функция 
непрерывна и не изменяет знак, тогда объем
тела, образованного вращением вокруг оси 
криволинейной трапеции, ограниченной линиями 
,
вычисляется по формуле: |
. |
a |
b |
x |
|
S |
|
1
y=f(x)
b |
x |
|
,
Задания
19.1. Найдите площади фигур, ограниченных линиями:
а)
y = 4 − x |
, |
2 |
|
y = x2
−
2x
; б)
y = |
1 |
, |
y = x |
2 |
, |
|
|||||
x |
|
||||
|
|
|
|
|
y = 4
(I четверть).
19.2.
19.3.
19.4.
Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси |
Ox |
|||||||||
фигуры, ограниченной линиями |
y = |
x + 2, |
y = x, |
у = 0 . |
|
|||||
Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси |
Oy |
|||||||||
фигуры, ограниченной линиями |
y = x |
2 |
, |
y = x |
3 |
. |
|
|
||
|
|
|
|
|||||||
Найдите площадь полубесконечной фигуры, заключенной между
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
y = xe |
2 |
|
||
графиком функции |
|
и асимптотой этого графика при |
|||
|
|
|
|||
x 0. |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
− |
|
||
y = xe |
2 |
|||
|
||||
|
|
|||
19.5. Найдите площадь бесконечной |
фигуры |
(Локон Аньези), |
|||
ограниченной графиком функции |
y = |
|
1 |
и осью Ox . |
|
x2 |
+1 |
||||
|
|
|
|||