Лекции / 20
.pdf
Тема№20: Дифференцирование функций нескольких переменных
Справочный материал
Частные производные функции нескольких переменных
z= f (x, y)
|
z |
= |
z |
|
|
z |
|
обозначают |
x |
|
x |
, z y |
= |
y |
. Для их отыскания применяют таблицу производных |
|
|
|
|
|
|
правила дифференцирования, учитывая, что при дифференцировании по переменная y , а также все функции от нее, остаются постоянными и наоборот.
и
x
Полный дифференциал функции формуле:
dz=z
двух
xdx+z
переменных можно составить по
ydy .
Задания
20.1.Найдите частные производные функций с помощью правил дифференцирования:
а)
г)
z = 2 z = y
x
3
y |
6 |
|
|
− |
|
;
x
;
б)
д)
z =
z =
x
y ;
4tgx +3 |
y |
|
в) z = sin x ; y 3
.
20.2. Найдите полные дифференциалы дробей:
а)
z =
x + y xy
;
б)
z =
y+ x 4 x − 2 y
.
20.3. Найдите
а) |
z=2 |
xy |
; |
|
|
|
частные производные сложных функций:
б) z = x y2 sin y ; |
в) |
z = cos(3 |
x
2
+
y
)
;
г)
|
x |
3 |
|
z = arctg |
|
||
y |
|||
|
|||
;
д)
z = 4 |
x |
|
y |
||
|
;
e)
z
= ln (x
−
2 y)
.
ж)
z = |
y |
|
3 |
− x2
;
з)
|
3 |
−y |
2 |
z = e |
x |
|
|
|
|
|
;
и)
z = arcsin |
x |
|
x + |
||
|
y
.
Справочный материал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
). Другие |
Частные производные второго порядка zxx =(zx )x |
|
( zyy =(zy )y |
|
|||||||||||||
обозначения: z 2 |
;z 2 |
; |
2 z |
; |
2 z |
; |
2 f |
; |
2 f |
. |
|
|
|
|
|
|
x2 |
y2 |
x2 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Если |
функция |
z= f (x, y) |
продифференцирована дважды, но по разным |
||||||
переменным, |
то результат называют смешанной производной второго порядка |
|||||||||
zxy |
=(zx ) |
|
|
и |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
y |
|
z yx |
= (zy ) |
x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Дифференциал второго порядка можно составить по формуле:
d |
2 |
z =z |
dx |
2 |
|
|
|||
|
|
xx |
|
|
+2z dxdy+z |
dy |
2 |
|
|
|||
xy |
yy |
|
|
.
Задания
20.4.Найдите все частные и смешанные производные второго порядка и составьте дифференциалы второго порядка функций:
а)
z
= (y +
x |
2 |
)cos |
|
y
;
б)
z =
yctgx +
3 |
xe |
y |
|
|
.
20.5. Найдите частные производные функций трех переменных:
а)
u = 5xy |
3 |
|
− zx |
2 |
ln |
|
y
;
б)
u =
x cos y |
||
z |
2 |
− 3y |
|
||
;
в) u = x |
3 |
yz − |
5y |
|
|||
|
x |
||
|
|
|
Справочный материал
;
г)
u
= (х −
у)z
.
Кроме частных производных у функции z = f (x, y) рассматривается
производная по направлению, которое задает вектор
l
=
( x)i
+
( y)j
:
где cos = |
x |
, cos = |
y |
|
|
|
|||
|
|
Задания
|
|
|
cos , |
zl |
= z x |
cos + z y |
- направляющие косинусы вектора,
= |
( x) |
2 |
+( y) |
2 |
|
|
|
.
20.6. Найдите производную функции по направлению:
а)
б)
в)
u = z =
z =
ln(x |
2 |
||
|
|||
x |
2 |
+ |
|
|
|
|
|
x3 −
+ xy
xy
y |
2 |
+3z |
2 |
), |
в точке |
|
|
|
|||||
3 |
+ y |
4 |
в направлении от M1 (3,1) к |
|||
|
|
|||||
+ y2 , |
|
|
в точке M0 (1,2). |
|||
M |
(1,2,1) |
0 |
|
M 2 (6,5);
;