Лекции / 21
.pdf
Тема№21: Приложения дифференциального исчисления функций нескольких переменных
Справочный материал
С
составить
z= f (x, y)
помощью частных производных функции двух переменных можно
уравнение |
касательной |
плоскости |
и нормали к графику функции |
|||||||
в точке |
M |
0 |
(x |
, y |
), если |
z |
0 |
= f (x |
, y |
): |
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
||
•
•
: z − z0 = z x (M0 )(x−x0 )
плоскости; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
l: |
x −x |
0 |
|
= |
y − y |
0 |
|
= |
z −z |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z (M |
|
) |
z |
(M |
|
) |
−1 |
|
|||
|
0 |
|
0 |
|
|
||||||
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
||
+ z y (M0 )(y−y0 ) - уравнение касательной
- уравнение нормали.
Задания
21.1.Составьте уравнение касательной поверхности – графику функции z =
а) z = y3 ln x − y , M 0 (e,−1);
f
плоскости и (x, y) в точке
нормали к
M 0 |
: |
б) |
z = ln(x |
2 |
+ y |
2 |
|
|
Справочный материал
)
,
M 0
(1,−1)
.
поля.
a(x, y
•
•
•
Частные производные функции нескольких переменных используют в теории |
||||||||||||||||||||||
Скалярное поле задается функцией |
u = f (x, y,z) |
, |
векторное поле функцией |
|||||||||||||||||||
,z)=P(x, y,z)i+Q(x, y,z)j+R(x, y,z)k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
= ′ |
|
+ ′ |
|
+ ′ - градиент скалярного поля; |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
diva = P |
+ Q |
+ R - дивергенция векторного поля; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
j |
k |
|
|
|
rota = (R |
|
−Q |
)i + (P |
−R )j + (Q |
|
−P )k = |
|
|
|
|
- |
ротор |
|||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
z |
|
|
z |
|
|
x |
x |
y |
x |
|
y |
z |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
Q |
R |
|
|
векторного поля.
Задания |
|
|
|
|
|
|
||
21.2. Найдите градиент скалярного поля: |
|
|||||||
а) u = |
x |
− |
y |
− |
x |
в точке M 0 (2,2,2); |
б) u = ln(x2 y5 z −7 ). |
|
y |
z |
z |
||||||
|
|
|
|
|
||||
21.3. Найдите дивергенцию и ротор векторного поля:
а) a = 2xi − (xz − 2y)j + (4 + z 2 )k ;
б)
a = (3x + 2y)i + (5x − 2y)j + (3z − y |
2 |
− 3)k |
|
|
в M
0
(1,−2,5)
.
Справочный материал
С помощью частных производных первого и второго порядков функции двух переменных можно исследовать на наличие экстремумов по следующему плану:
1) Найти область определения функции z= f (x, y).
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти частные производные z x |
и z y . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
̸′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
Найти критические точки в области определения, в которых |
или [ |
|
|||||
̸′ . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
Составить выражение (х, у) |
|
|
|
2 |
|
|
|
= z xx |
z yy − (z xy ) |
и вычислить его значение в |
||||||
критических точках |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
• |
если |
(х1, у1 ) 0 |
, то в критической точке |
(х1 |
, у1 ) экстремума нет; |
|
||||||
• |
если |
(х2 , у2 )= 0 , то о наличии экстремумов в критической точке |
( |
|||||||||
|
не известно; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
• |
если |
(х3, у3 ) |
0 , то при |
|
(х3 , у3 ) 0 |
в критической точке |
( |
|||||
zxx |
||||||||||||
|
функция |
имеет |
максимум, |
а |
при |
z |
|
(х , у ) 0 |
в критической |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
xx |
3 |
3 |
|
|
|
(х3 , у3 ) |
функция имеет минимум; |
|
|
|
|
|
|
||||
х |
2 |
, у |
2 |
) |
|
|
|
х3 , у3 )
точке
5) Вычислить
z |
max |
= f (x |
, |
|
3 |
|
Задания
экстремумы
y3 ) или |
z min = |
в f (
точках максимума и (или) минимума, т.е. x3 , y3 ).
21.4. Найдите экстремумы функций двух переменных:
а) z = 2x3 + xy2 − 216x ; |
б) z = 3x + 6y − x2 − xy − y2 . |