Лекции / asimptoti
.pdf
§ 8. Асимптоты графика функции
Асимптотой графика функции y = f (x) называется прямая с особым свойством: если сколь угодно далеко двигаться по графику от начала координат, то расстояние от графика до этой прямой стремится к нулю.
Асимптоты могут быть вертикальными, горизонтальными или наклонными.
Теор.:Если функция |
y= f |
( |
) |
в точке |
х=a бесконечно большая |
x |
|
справа или слева, то прямая х=a является вертикальной асимптотой графика этой функции.
lim f (x)=x=a - вертикальная асимптота.
x→a
Вертикальные асимптоты ищут в отдельных «дырах» области определения или на ее границах. На рисунке в точке х=a функция не существует, т.е. в ней разрыв и вертикальная асимптота. Если бесконечен предел только справа (слева) от
1
точки, асимптота тоже право- (лево-) сторонняя. На рисунке асимптота двусторонняя.
Теор.:Если функция |
y= f |
( |
) |
на |
бесконечности имеет |
|||
x |
|
|||||||
конечный предел |
b , |
|
то |
прямая |
у=b |
является |
||
горизонтальной асимптотой графика функции y= f (x).
lim |
f (x)=b=const y=b |
x→ |
|
- горизонтальная асимптота.
Ясно, что область определения для функции с горизонтальной асимптотой должна быть неограниченна справа или слева. Если постоянным является только один из
пределов (на |
+ |
или |
− |
), асимптота тоже правоили |
|
|
левосторонняя. На рисунке горизонтальная асимптота левосторонняя.
Теор.:Если существуют конечные пределы |
lim |
f (x) |
=k 0 |
и |
|||||||||
x |
|||||||||||||
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
x→ |
|
|
||
lim |
f |
|
является наклонной |
||||||||||
|
|
x −kx =b , то прямая у=kx+b |
|||||||||||
x→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
асимптотой графика функции y= f |
( |
) |
. |
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
|
|
|
||||||||
lim |
f (x) |
=k =const 0 |
|
|||
|
|
|
|
|||
x→ |
|
x |
|
y=kx+b |
||
lim |
|
f |
( |
) |
|
|
|
||||||
|
|
x −kx =b=const |
||||
x→ |
|
|
|
|
|
|
- наклонная асимптота.
Ясно, что область определения для функции с наклонной
асимптотой должна быть неограниченна справа или слева и с |
||
этой стороны |
lim |
f (x)= . |
|
x→ |
|
Наклонная асимптота тоже может быть только правоили
левосторонней. |
На |
рисунке |
наклонная |
асимптота |
||
правосторонняя. |
|
|
|
|
|
|
Для существования |
наклонной |
асимптоты |
необходимо |
|||
существование обоих конечных пределов k 0, b. Если |
k = 0 |
, |
||||
|
||||||
то асимптота, очевидно, горизонтальная.
2