Лекции / qwestions
.pdf
Ведущий преподаватель М.В. Воронова
Примерные вопросы к экзамену по математике для студентов групп ИКБ-01 – 06, 1 курс, 1 семестр 2020-21 уч.г.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Понятие и способы задания функций одной действительной переменной. Сложная и элементарная функции. Функции, заданные неявно, параметрически, кусочно, степеннопоказательная (с примерами). Примеры основных элементарных функций.
Четность функции, периодичность: определения понятий, графические иллюстрации, примеры. Обзор свойства четности основных элементарных функций.
Ограниченность на промежутке: определения понятий, графические иллюстрации, примеры. Обзор свойства ограниченности основных элементарных функций.
Предел функции в точке: графическая иллюстрация понятия, теорема о пределе элементарной функции. Основные свойства конечных пределов функции в точке. Примеры применения свойств.
Бесконечно малая функция в точке: определение и свойства. Примеры применения |
||||
свойств. Раскрытие неопределенности |
|
0 |
|
для дробно-рациональных функций (с |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
примерами). |
|
|
|
|
Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции. Доказательство эквивалентности каких-либо двух функций в точке х=0.
Бесконечно большая функция в точке: графическая иллюстрация понятия и свойства. Обзор бесконечно больших в точке основных элементарных функций. Примеры применения свойств.
Бесконечно большая функция на бесконечности: графическая иллюстрация понятия и свойства. Обзор пределов основных элементарных функций на бесконечности. Примеры применения свойств.
Бесконечно большая функция на бесконечности: графическая иллюстрация понятия и
свойства. Раскрытие неопределенности |
|
для многочленов и − . |
|
|
|||
|
|
Замечательные пределы (2 формы). Примеры применения замечательных пределов при
|
0 |
|
|
|
раскрытии неопределенностей |
и 1 |
с использованием замены переменной. |
||
0 |
||||
|
|
|
11.Определение непрерывной в точке функции. Классификация точек разрыва. Графические иллюстрации. Примеры функций с точками разрывов первого и второго рода.
12.Определение непрерывной на множестве функции. Непрерывность элементарной функции. Пример исследования на непрерывность кусочно заданной функции. Обзор точек разрыва основных элементарных функций.
13.Теоремы о непрерывных на отрезке функциях (о промежуточных значениях, БольцаноКоши, Вейерштрасса). Графические иллюстрации выполнения и невыполнения условий теорем.
14.Понятие асимптоты графика функции. Теоремы об условиях наличия вертикальной, горизонтальной и наклонной асимптот. Обзор асимптот у основных элементарных функций.
15.Определение производной функции в точке. Доказательство формулы из таблицы производной по определению (на выбор: для синуса, косинуса, тангенса, показательной функции).
16.Правила дифференцирования. Производная сложной функции, пример. Производные для функций, заданных кусочно, параметрически (примеры).
17.Логарифмическое дифференцирование. Применение к степенно-показательной функции в общем виде. Пример дифференцирования дробно-иррациональной функции.
18.Непрерывность и дифференцируемость функции. Примеры функций, которые обладают одним свойством без другого. Правило Лопиталя. Примеры применения правила к
раскрытию неопределенностей
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для дробно-рациональных функций с бесконечным,
конечным ненулевым и нулевым пределами.
19.Определение дифференциала функции. Дифференциал и приращение аргумента. Инвариантность формы дифференциала. Внесение постоянных под знак дифференциала. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
20.Геометрический смысл производной и дифференциала с графическими иллюстрациями.
21.Производные и дифференциалы высших порядков: определения, формулы для выражения дифференциала высшего порядка через производную. Вывод формулы для дифференциала второго порядка.
22.Монотонная на интервале функция, точки экстремума и экстремумы: определения понятий, графические иллюстрации. Обзор свойства монотонности основных элементарных функций.
23.Исследование функции на монотонность и экстремумы: критические точки, теоремы о производной в точках экстремумов, о знаках производной и монотонности.
24.Выпуклая и вогнутая на интервале функция, точка перегиба графика: определение понятия, графические иллюстрации. Обзор свойства выпуклости основных элементарных функций.
25.Исследование функции на выпуклость и наличие точек перегиба: критические точки второго рода, теоремы о второй производной в точках перегиба, о знаках второй производной и выпуклости.
26.Первообразная функция (определение). Неопределенный интеграл: определение, свойства (вывод формул), инвариантность формы интеграла. Пример проверки формулы из таблицы интегралов. Пример интегрирования путем внесения постоянных под знак дифференциала.
27.Интегрирование по частям в неопределенном интеграле: формула (вывод), рекомендации по выбору частей для типовых случаев при наличии многочлена.
28.Использование подстановки в неопределенном интеграле для сложной, тригонометрической, иррациональной функции. Примеры применения.
29.Интегрирование простейших рациональных дробей (I и II типы в общем виде, III и IV типы для случаев D<0).
30.Интегрирование простейших рациональных дробей III и IV типов для случаев D>0. Представление правильной дроби в виде суммы простейших на примере.
31.Интегральная сумма для функции одной переменной на отрезке с графической иллюстрацией. Определенный интеграл: определение, условия существования, свойства.
32.Определенный интеграл: формула Ньютона-Лейбница, особенности замены переменной, интегрирования по частям, геометрические приложения.
33.Определенный интеграл: геометрический смысл (с графической иллюстрацией), геометрические приложения. Использование полярных координат для вычисления определенного интеграла.
34.Интеграл с переменным верхним (нижним) пределом: определение. Несобственный интеграл первого рода, его сходимость и геометрический смысл.
35.Функция нескольких переменных, ее область определения и способы задания. График функции двух переменных и его изображение.
36.Предельная точка для последовательности точек плоскости: графическая иллюстрация понятия, определение. Определение предела функции двух переменных в точке. Непрерывность функции двух переменных в точке.
37.Частные приращения функции двух переменных: графические иллюстрации понятия, определения. Частные производные функции двух переменных. Производные высших порядков функции двух переменных.
38.Полное приращение и полный дифференциал функции двух переменных. Дифференциалы высших порядков. Выражение дифференциала второго порядка через производные (вывод формулы).
39.Производная функции двух переменных по направлению: графическая иллюстрация, определение, вычислительная формула, смысл.
40.Производная неявно заданной функции одной и двух переменных. Производная первого и второго порядков параметрически заданной функции от одной переменной. Производная кусочно заданной функции одной переменной (на примере).
41.Исследование функции двух переменных на экстремумы: критические точки, теоремы о производной в точках экстремумов, достаточное условие экстремума.
42.Интегральная сумма для функции двух переменных в области с графической иллюстрацией. Двойной интеграл: определение, условия существования и свойства.
43.Вычисление двойного интеграла: формулы для простых областей с графическими иллюстрациями.
44.Переход к полярным координатам в определенном и двойном интеграле: формулы, графические иллюстрации.
45.Геометрические и физические приложения двойного интеграла.
46.Интегральные суммы для функции двух переменных на дуге по координатам с графической иллюстрацией. Криволинейные интегралы по координатам: определение, свойства, геометрический смысл, вычислительные формулы для некоторых способов задания функции. Формула Грина.