Лекции / Функции
.pdf
Основные элементарные функции и некоторые их свойства
Степенные функции:
а) |
y = x |
n |
, где |
n |
- постоянное натуральное число. |
|
Область определения D(y)= R
Функция нечетная, если n - нечетный показатель; четная, если n - четный показатель.
Примеры:
y = x |
2 |
- n = 2 |
- четный показатель, функция четная; |
|
y = x |
13 |
- |
|
нечетная.
n =13
- нечетный показатель, функция
б)
y = x− n
=
1 |
|
x |
n |
|
|
,где
n
-постоянное
натуральное число. Область определения
D(y)= (− ;0) (0;+ )
Функция нечетная, если |
n |
- нечетный |
|
показатель; |
|
|
|
четная, если n |
- четный показатель. |
||
Примеры: |
|
|
|
y = x |
−3 |
= |
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
- |
n |
= 3
- нечетный показатель,
функция нечетная; |
|
|
|||||
y = x− 40 = |
1 |
- |
|
n = 40 |
- четный |
показатель, |
|
|
|||||||
|
|
x40 |
|
|
|
|
|
функция четная. |
|
|
|||||
1 |
= n |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
в) y = x n |
x , где |
п 1 - |
постоянное |
||||
натуральное число.
Область определения зависит от показателя корня:
для нечетного показателя п D(y)= R , для четного показателя п D(y)= 0;+ ).
Функция нечетная, если n - нечетный показатель;
общего вида, если n - четный показатель. Примеры:
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
x = x 2 |
- n = 2 |
- четный показатель, |
|||||
функция общего вида; |
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x 3 = 3 x - |
n = 3 - |
нечетный показатель, |
|||||||
функция нечетная.
1
Постоянная |
функция: |
y = c , |
|||
постоянное действительное число. |
|||||
Область определения |
D(y)= R . |
|
|||
Функция четная при c 0. |
|
||||
Примеры: |
y = |
|
3 - четные, |
||
y = 7 , |
y = −17.58, |
5 |
|||
|
|
|
|
|
|
y = 0 |
- общего вида. |
|
|
|
|
где
c
-
Показательная функция: |
y = a |
x |
, где |
a 1 |
- |
|
|
|
|
|
постоянное положительное действительное число. Область определения D(y)= R
Функция общего вида. Примеры:
y = 2 |
x |
, где |
a = 2 |
; |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
, где a = |
; |
|
|
|
|||||||
y = |
|
|
|
|
|||||||
3 |
3 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
1 |
|
y = 5 |
− x |
= (5 |
−1 x |
, где a = |
; |
||||||
|
|
) = |
|
5 |
|
5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y = e |
x |
, |
|
где a = e 2.72. |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
Логарифмическая функция: |
y = log a x , где |
a 1 |
- |
постоянное |
положительное |
действительное число.
Область определения D(y)= (0;+ ).
Функция общего вида. Примеры:
y = log |
2 |
|
x
, где a = 2 ;
y =
y = y =
log 2 3
ln x lg x
x , где |
|
loge |
|
log |
10 |
|
|
a = |
2 |
; |
||
3 |
||||
|
|
|
||
x , |
где |
|||
x , |
|
где |
||
a = e 2.72
a =10.
.
2
Тригонометрические функции:
а) y = sin x
Область определения D(y)= R . Функция нечетная: sin(− x)= −sin x . Функция периодическая: T = 2 .
в) y = tgx |
|
|
|
|
|
|
Область определения |
|
|||||
|
− |
|
+ п; |
|
|
|
D(y)= |
2 |
2 |
+ п , п Z . |
|||
|
|
|
|
|
||
Функция нечетная: |
tg(− x)= −tgx . |
|||||
Функция периодическая: |
T = . |
|||||
б) y = cos x
Область определения D(y)= R . Функция четная: cos(− x)= cos x . Функция периодическая: T = 2 .
г) y = ctgx
Область определения
D(y)= ( п; + п), п Z .
Функция нечетная: ctg(− x)= −ctgx. Функция периодическая: T = .
3
Обратные тригонометрические функции:
а) y = arcsin x |
|
Область определения |
D(y)= −1;1 . |
Функция нечетная: arcsin(− x)= −arcsin
x
.
б) |
y = arccosx , |
Область определения
D(y)= −1;1 .
Функция общего вида.
в) |
y = arctgx |
Область определения
Функция нечетная: arctg(− x)= −arctgx .
D(y)=
R
.
г) y = arcctgx |
|
Область определения |
D(y)= |
Функция общего вида.
R
.
4
5