Лекции / 1

Литература по математическому анализу, авторы:

теоретическая

Г.М. Фихтенгольц «Математический анализ», И.Баврин «Высшая математика»;

практическая

Лунгу К.Н., Письменный Д.Т. и др «Сборник задач но высшей математике», 1 курс

Каплан И.А., Пустынников В.И. «Практикум по высшей математике» П.Е. Данко и др. «Высшая математика в упражнениях и задачах»

Объем курса: Лекций - 25

Практических занятий - 25 Экзамен (принимает лектор)

1

Раздел I Дифференциальное исчисление

функции одной переменной

Глава 1. Функция

§ 1. Понятие функции

Опр.: Если заданы числовые множества и , а также некоторое правило , по которому для каждого числа из множества можно определить единственное число из множества , то говорят, что на множестве задана функция .

При этом:

называют независимой переменной или аргументом,

1.1. Являются ли функциональными следующие зависимости?

2

действительную функцию от одной действительной переменной.

Способы задания функций и отыскания 1) Табличный.

1.2. Найдите значения данных функций в данных точках

2)Словесный.

3)Аналитический.

в) , г) ; в точках и , если это возможно.

4)Графический: в системе координат на плоскости изображается множество точек с координатами

- график функции.

3

§2. Классификация функций

Косновными элементарными

функциям относят:

Постоянную функцию:

, .

Степенную функцию: а) , ;

в)

4

Тригонометрические функции:

, ; , ;

.

5

Обратные тригонометрические функции:

, ; , .

6

Спомощью операций сложения, вычитания, умножения

икомпозиции (суперпозиции) из основных элементарных можно получать новые функции.

Опр.: Если к каждому действительному числу из области определения можно сначала применить основную

элементарную функцию , а затем к результату можно применить основную элементарную функцию , то

В составлении сложной функции может участвовать и более двух основных элементарных функций. Последняя из цепочки основных элементарных функций называется внешней функцией, а предыдущие - вложенными функциями. Представление сложной функции с помощью цепочки основных элементарных правил называют

композицией.

2.1.Представьте функцию в виде композиции из основных элементарных.

7

Некоторые неэлементарные функции

, если это возможно.

Параметрически заданная функция :

, т.е. обе переменные и зависят от третьей переменной - параметра.

Например, лемнискату Бернулли описывают уравнения

Степенно-показательная функция :

содержит в основании и показателе степени непостоянные.

Например, .

9

§ 3. Основные свойства функции

Четность и нечетность

Опр.: Функция называется четной, если для любого значения аргумента из области определения найдется

Опр.: Функцию, не являющуюся ни четной, ни нечетной, называют функцией общего вида.

Если функция задана графически, то из определения следует, что у четной функции график симметричен относительно оси , а у нечетной - относительно точки .

10