Лекции / 6 непр
.pdf
Тема№6: Непрерывность функции в точке и на множестве
Справочный материал
Функция |
y= f (x) называется |
непрерывной в точке |
x = a из области |
|
определения функции, если |
y= f (x) |
имеет в этой точке конечный предел, равный |
||
значению функции в ней, т.е. |
a D( f ) и lim f (x) = f (a) . |
|
||
|
|
|
x→a |
|
В любой точке из своей области определения непрерывны элементарные (и основные элементарные) функции, в том числе, многочлены.
Пусть некоторая окрестность ( ) ( ) , кроме, может быть, самой точки
x = a (проколотая окрестность). |
|
|
x = a |
называется точкой |
разрыва первого рода, если в этой точке |
существуют конечные, но не равные между собой односторонние пределы: |
||
|
lim |
f (x) = A1 = const |
|
x→a |
|
|
x a |
|
|
|
f (x) = A2 = const |
|
lim |
|
|
x→a |
|
|
x a |
|
|
A A |
|
|
1 |
2 |
или общий предел функции в точке не равен значению функции в ней:
( ) = = ≠ ( ).
→
Если в бесконечен, то
точке
x = a
x = a хотя бы один из односторонних пределов функции называется точкой разрыва второго рода.
Задания
6.1.
6.2.
Исследуйте на непрерывность в точке |
x = 0 функции. В случае |
||||||||||||||||
нарушения непрерывности установите род разрыва. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
а) |
f (x)= |
; |
|
б) f (x)= e |
x |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Исследуйте функции на непрерывность в точке |
x =1. В случае |
||||||||||||||||
нарушения непрерывности установите род разрыва. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x |
3 |
|
|
а) |
y = |
|
|
|
|
|
; |
|
|
б) y = |
|
; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
( |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|||
|
|
|
x − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x2 |
+ 2x − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, x 1; |
|
|
|
2x +1, |
x 1; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в) |
y = |
|
x −1 |
|
г) y = |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
4, |
|
x =1. |
|
|
|
4x − 3, |
x 1. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Справочный материал
Функция |
y= f (x) |
называется непрерывной на множестве |
X
, если она
непрерывна в каждой точке этого множества. Непрерывность часто нарушается у функций, заданных разными аналитическими выражениями на разных промежутках. Поэтому для кусочно заданных функций исследуют непрерывность на каждом промежутке и отдельно изучают точки стыка промежутков.
Задания
6.3. Исследуйте на непрерывность функции
− , |
|
< 0; |
||
3 − 2, |
0 |
≤ < 2; |
||
а) ( ) = |
1 |
, |
2 ≤ < 3; |
|
|
||||
|
−3 |
|
|
|
{ + 1, |
|
≥ 3. |
||
0, |
|
|
< 0; |
|
|
3, |
|
0 ≤ < 1; |
|
б) ( ) = {− 2 + 4 − 2, |
1 ≤ < 3; |
|||
4 − , |
|
≥ 3. |
||
6.4. Исследуйте на непрерывность функции и постройте их графики
а)
|
|
x +1, |
|
x 0; |
f (x) = |
|
2 |
, |
0 x 2; |
(x +1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
− x + 4, |
x 2. |
|
|
|
|||
б)
|
− x, |
x 0; |
|
|
x |
, |
0 x 2; |
f (x)= |
|||
|
3 |
|
|
|
x + 2, |
x 2. |
|
|
|||