Лекции / 7 непрерыв

§ 7. Непрерывность функции в точке

Опр.: Если в точке из области определения функции существует конечный предел, который совпадает со значением функции в ней, то говорят, что функция

непрерывна в этой точке.

Теор.:Элементарная функция в любой точке из области определения непрерывна.

1

Рассмотрим простейшую классификацию нарушений непрерывности в отдельных точках. Пусть функция задана в некотором интервале, содержащем точку, хотя сама точка может быть не из области определения. Иначе говорят, что

некоторая «проколотая окрестность» O(a) точки a лежит в •

области определения функции.

I.Если в точке существуют конечные пределы справа и слева, но они не равны между собой или общий конечный предел не равен значению функции в точке, то говорят, что в этой точке функция имеет разрыв первого рода.

II.Если в точке хотя бы один из пределов справа и слева не существует или бесконечен, то в этой точке функция имеет разрыв второго рода.

7.1.Исследуйте на непрерывность в точке x = 0 следующие функции:

2

§ 8. Непрерывность функции на множестве

Основные элементарные функции по определению и теореме непрерывны в своей области определения. В отдельных точках числовой оси, не принадлежащих этой области, наблюдаются разрывы.

Например, x = 0 - точка разрыва второго рода для степенной типа б):

3

У тангенса и котангенса бесконечно много точек разрыва второго рода.

Непрерывность часто нарушается у функций, заданных разными аналитическими выражениями на разных промежутках. Поэтому для кусочно заданных функций исследуют непрерывность внутри каждого промежутка и отдельно изучают точки стыка промежутков.

8.1. Исследуйте на непрерывность функцию:

Некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке

она принимает на нем свое наибольшее и наименьшее значение.

4