Лекции / 8 проивз точк

Добавил:

Silverokx Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Математика

Файл:

y = ln x arctgx;

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

04.03.2023

Размер:

194.52 Кб

Скачать

☆

Тема№8: Производная функции: определение, свойства

Справочный материал

Если существует конечный предел отношения приращения функции

y= f (x)

к бесконечно малому приращению аргумента

в точке

из области

определения функции, то он называется производной функции в этой точке:
lim	f (x	0	+ x)− f (x	0	)	=	f (x		)
		0		0
			x					0
x→0								0
x→0

Задания:

8.1. С помощью определения производной докажите равенства:

			1		1
а)	;			= −			;
		б)				2
		x			x

в)

	=
(ln x)

1 x

;

г)

(a	)
	x

= a	x	ln

Справочный материал

Для основных элементарных функций выведена таблица производных:

1)xx =1

2)(x n )x =n x n−1 ; n =const 0

3)( x )x = 2 1 x

	1				1
4)				=−

5)(a x )x =a x ln a; a =const 0,a 1

6)(e x )x =e xx x

7)	(loga x)x		=	1	; a =const 0,a 1
7)	(loga x)x		=	x ln a	; a =const 0,a 1
				x ln a
			1
8)	(ln x)x	=
8)	(ln x)x	=	x
			x

9)	(sin x)	=cosx
	x
10)	(cosx)	=−sin x
	x
11)	(tgx) =		1
11)	(tgx) =		2
	x		2	x
		cos		x
12)	(ctgx)	=−		1
12)	(ctgx)	=−			2
	x		sin		2	x
			sin			x
13)	(arcsinx)		=			1
13)	(arcsinx)		=
		x		1−x			2
							2

14)	(arccosx)		=−			1
14)	(arccosx)		=−
		x				1−x			2
									2

15)	(arctgx) =			1
15)	(arctgx) =					2
		x	1+x			2
			1+x
16)	(arcctgx)		=−			1
16)	(arcctgx)		=−					2
		x			1+x			2
					1+x

Производные гиперболических функций

−e

− x

17)

(shx)x

=chx;

shx=

− x

18)

(chx)x

=shx;

chx=

19)

(thx)

;

thx=

shx

chx

20)

(cthx)

=−

;

cthx=

chx

shx

Если требуется найти производную функции, основных элементарных с помощью операций сложения,

деления, то используют правила дифференцирования:

c		=0,				c =const
c	x	=0,				c =const
	x
(с u )			x	=с u
			x				x
(u +v −w)							=u	+ v		− w
							x	x	x		x
(u v)			x	=u v +u v
			x				x		x
u
u					=	u x v −u v x
					=		v
v		x					v
							2
Формула дифференцирования сложной функции											y
							, где	u = g(x) .
yx		=yu ux					, где	u = g(x) .

Задания

8.2. Найдите производные функций:

которая составлена из вычитания, умножения и

f g(x) :

а)

y = 2	x

x	4

;

б)

=15sin

−

4	3

;

8.3. Найдите производные функций:

а)	y = x	6		−	3	x	8	+ e	x	ln 2	;
	y = x			−		x		+ e		ln 2

в)	y =			sin x				;
в)	y =							;
	5		+ cos x

;

б)

г)

y y

д)	y =

=15 + x2

=arctgx

4	x
4			.
sin x			.
sin x
sin x +
−			x
−
2(1		+

2xtgx
x		)
	2	;
	2

;

д) y = 5 x arccosx − log 6 x . x2

8.4. Найдите производные сложных функций в точке 0 = 2:

а) y = cos	3	x	;	б)	y = ln	4	sin x .

		3

8.5. Найдите производные сложных функций:

а)

);

б)

y = arctg

−1

;

y = cos(7 − x

1−x

y = ln

+ 3

y =

в)

;

г)

;

д)

y = 4

+ x

8.6.Найдите производные функций, используя свойства степеней, корней, логарифмов, тригонометрические равенства:

а)

в)

д)

y y

= = =

2	3 x
		;
	2 x

3
3sin
e	− ln

2	x	− lg
	x	− lg
x+2			x
x−3		−	x
		−

			x

ж)

x + 3cos		2	x

−3	;
+ 2

y = ln		1+

;

ctg	2	x

б)

г)

е)

y y

= = =

3	x	3	x ;

4

(x +1)(x − 3)
				3
ln			− x)
(x − 2) (4			− x)
		3
	x		x	2
	x	− cos	x		;
sin		− cos			;
	2		2

;

Соседние файлы в папке Лекции

#
04.03.2023197.61 Кб021.pdf
#
04.03.2023188.66 Кб05.pdf
#
04.03.2023188.41 Кб06 непр.pdf
#
04.03.2023177.53 Кб07 непрерыв.pdf
#
04.03.2023152.32 Кб08 асимптоты.pdf
#
04.03.2023194.52 Кб08 проивз точк.pdf
#
04.03.2023152.32 Кб0asimptoti.pdf
#
04.03.20234.99 Mб0Matematika (3).pdf
#
04.03.2023126.92 Кб0qwestions.pdf
#
04.03.2023296.06 Кб0дифф произв.pdf
#
04.03.202348.4 Кб0производ табл.pdf