9201_Рауан_ЛР2

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра фотоники

отчет

по лабораторной работе №2

по дисциплине «Физика твердого тела»

Тема: Температурная зависимость электропроводности металлов

Вариант №12

Студент гр. 9201		Рауан М.
Преподаватель		Васильева А.В.

Санкт-Петербург

2021

Цель работы: изучение температурного хода проводимости металлов в широком интервале температур с учетом различных механизмов рассеяния носителей заряда.

Основные теоретические сведения

Сопротивление R проводника определяется геометрическими размерами образца и свойствами материала, из которого он изготовлен:

где L – длина проводника, S – площадь поперечного сечения, а ρ – удельное сопротивление, являющееся фундаментальной характеристикой материала. Величина σ = 1/ρ называется удельной электропроводностью или проводимостью. С помощью данной величины можно представить закон Ома в дифференциальной форме:

Электрическое сопротивление проводников обусловлено процессами рассеяния электронов проводимости – рассеянием на тепловых колебаниях кристаллической решетки и столкновением с примесными атомами:

где средняя длина свободного пробега электрона, n – концентрация электронов, эффективная масса электрона, скорость электронов.

Температурная зависимость удельного сопротивления:

Правило Маттисена:

В различных температурных интервалах электрон-фононная составляющая по-разному зависит от температуры: при , где температура Дебая, , при .

Эквивалентно правилу Маттисенна можно записать соотношение для вероятности столкновения электронов в единицу пути:

В случае металлических пленок проводимость будет зависеть от толщины пленки. Для толстой пленки, т. е. пленки, толщина δ которой много больше средней длины свободного пробега Λ электрона в рассматриваемом металле, эффективная проводимость:

В случае тонких пленок, для которых :

Обработка результатов

Вводные данные:

Металл	z	d, г/см3	А, г/моль	при 273 К, мкОм∙см	, 1/К	Температура Дебая, К
Mg	2	1,74	24,3	4,3	0,004	330

1. Расчёт и построение температурной зависимости химического потенциала.

Рассчитаем концентрацию свободных электронов:

Рассчитаем химический потенциал при Т = 0 К:

Определим температурную зависимость химического потенциала:

Графически данная зависимость имеет вид:

Рисунок 1 – Температурная зависимость химического потенциала для Mg

Температура, при которой химический потенциал отличается от значения при 0 К на 1% – Т₁ = 9040 К, на 10% - Т₂ = 28588 К.

2. Расчет плотности состояния, функции распределения Ферми-Дирака и распределение электронов по энергиям. Построение кривых данных зависимостей.

Зависимость плотности состояния от энергии:

Функция распределения Ферми-Дирака:

Распределение электронов по энергиям:

Построим данные зависимости на одном графике при Т= 4 К:

Рисунок 2 – График распределения электронов по энергиям с учетом функции Ферми-Дирака при Т = 4 К

Рисунок 3 – График распределения электронов по энергиям с учетом функции Ферми-Дирака при Т = 1000 К

3. Вычисление значения концентрации электронов при различных температурах.

Вычислим концентрации путем интегрирования по всем заполненных состояниям:

Рисунок 4 – Зависимость концентрации электронов в Mg от температуры

4. Расчет длины свободного пробега электронов и температурной зависимости проводимости с учетом только электрон-фононного рассеяния. Построение расчетной зависимости удельного сопротивления Mg, а также кривой на основе справочных данных.

Рассчитаем длину свободного пробега:

С помощью последней формулы рассчитаем длину свободного пробега при электрон-фононном рассеянии при Т = 300 К:

Рассчитаем длину свободного пробега на основе справочных данных при Т = 300 К:

Построим на одном графике расчетную зависимость удельного сопротивления металла от температуры при учете только электрон-фононного рассеяния и кривую на основе справочных данных:

Рисунок 4 – Зависимость удельного сопротивления металла от температуры при учете только электрон-фононного рассеяния (ρ1(Т0)) и кривую на основе справочных данных (ρ2(Т0))

Исходя из данного графика рассчитаем вклад дефектного рассеяния в величину удельного сопротивления металла при Т = 300 К:

5. Построение зависимости удельного сопротивления металлической пленки Mg от ее толщины.

Влияние размерного эффекта на длину свободного пробега металлической пленки вычислим по формулам:

Если подставить данную зависимость для длины волны при различных значениях вероятности зеркального отражения β, получим в формулу удельного сопротивления, получим:

Рисунок 5 – Зависимость удельного сопротивления металлической пленки от ее толщины и вероятности зеркального отражения

В данной лабораторной работе была изучена проводимость металла с учетом различных видов рассеяния и сделаны следующие выводы:

C помощью интегрирования было определено, что концентрация электронов не зависит от температуры, что объясняется вкладом распределения Ферми-Дирака.

При увеличении температуры (рисунок 3) кривые распределения электронов по энергиям и распеделения Ферми-Дирака сглаживаются.

С помощью полученной зависимости удельного сопротивления от толщины пленки и вероятности зеркального отражения β (рисунок 5) можно сделать вывод, что при увеличении β, удельное сопротивление увеличивается, при увеличении толщины пленки (около использованная формула не применима, удельное сопротивление резко возрастает.

Каким образом зависит средняя длина свободного пробега Λ электрона от температуры?

Увеличение температуры приводит к увеличению тепловых колебаний узлов кристаллической решетки, что сильно увеличивает вероятность «удара» электрона в атом кристаллической решетки, что сокращает длину свободного пробега. При малых температурах до температуры Дебая длина свободного пробега зависит в основном от дефектов и примесей в кристалле.