Математические методы в проектировании изделий электроники кр

Содержание

Задача №1. Получение математической модели по результатам

Задача №2. Получение математической модели по результатам

2

Задание №1. Получение математической модели по результатам однофакторного пассивного эксперимента

Цель задания:

Сгенерировать с помощью ЭВМ результаты опытов однофакторного пассивного эксперимента и, используя их, получить математическую модель объекта.

Решение:

Результаты однофакторного эксперимента, сгенерированные с помощью ЭВМ, представлены на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1 – Результаты однофакторного эксперимента, сгенерированные с помощью ЭВМ

Значение расч − это значение , рассчитанное по построенной модели для i-го опыта. Значение ∆ = − расч. Результаты расчетов

расч и ∆ для = + представлены в таблице 1.1.

По результатам однофакторного эксперимента, на прямоугольную координатную сетку можно нанести точки с координатами (1, 1), (2, 2), … , ( , ). Диаграмма разброса (корреляционное поле) параметров и представлена на рисунке 1.2.

3

Рисунок 1.2 – Диаграмма разброса (корреляционное поле) параметров и

4

По диаграмме разбора (корреляционному полю) было выбрано три элементарные функции, с помощью которых можно описать зависимость между и :

−линейная = + ;

−логарифмическая = ln + ;

−показательная = .

Информация об апробированных функциях, используемых в качестве математических моделей РЭУ, включает запись математического вида модели, значения коэффициентов моделей и указания об их статической значимости представлены в таблице 1.2.

Таблица 1.2 – Информация об апробированных функциях

Линейная модель: = +

Значение определяется по следующей формуле:

Используя инструмент «Регрессия», включенный в настройку «Анализ данных» программы Microsoft Excel, для линейной функции = + были получены эмпирические коэффициенты: = 0,287; = 61,85 (рисунок 1.3).

Диаграмма разброса (корреляционное поле) параметров и с графиком линейной функции = + представлена на рисунке 1.4.

5

Рисунок 1.3 – Полученные эмпирические коэффициенты и для линейной функции = +

Рисунок 1.4 – Диаграмма разброса параметров и с графиком линейной функции = +

Заключение о статической значимости линейного уравнения регрессии экспериментальным данным принимают с помощью F-статистики Фишера и находится по формуле:

рег( )расч = ад( ) .

Подставив значения из рисунка 1.3, получается

518,2расч = 6,34 = 81,7.

6

Гипотеза о наличии линейной регрессии между параметрами и откликом принимается если выполняется условие

расч > кр ( ; 1, 2).

кр ( ; 1, 2) является критическим (табличным) значением критерия Фишера, соответствующее доверительной вероятности и числу степеней

свободы: 1 = = 1 и 2 = − − 1 = 16 − 1 − 1 = 14.

кр определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии ) 1 = 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно 2 = − 2.

Таким образом, кр = 4,6. Получается

81,7 > 4,6.

Так как расч > кр, то коэффициент детерминации статически значим. Расчетные значения t-критерия Стьюдента а расч и расч:

Оценка коэффициента признается статистически значимой, если выполняется следующее условие

расч > кр.

кр определяется по таблице значений t-критерия Стьюдента, согласно уровню значимости α и числа степенной свободы, которое в случае линейной парной регрессии равно ( − 2), где − число наблюдений.

Таким образом, кр = 2,145. Получается

а расч > кр

9,04 > 2,145

расч > кр

28,4 > 2,145

Поскольку расчетные значения а расч и расч больше табличного, то статистическая значимость коэффициента регрессии и подтверждается.

7

Об удачности линейного уравнения регрессии можно судить также по значению коэффициента детерминации

Коэффициент детерминации 2 показывает, какая доля вариации отклика y объясняется изменениями x (85,4 %). Чем ближе 2 к единице, тем лучше функция = + описывает поведение отклика y. Считается, что модель удовлетворительно описывает y, если 2 ≥ 0,8. Проверка адекватности построенной регрессионной модели исходным данным является обязательной.

Для адекватной модели рассчитывается характеристика точности, такая как средняя относительная ошибка (в процентах):

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 2,191 %. Поскольку ошибка меньше 5 %, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

Логарифмическая модель: = +

Для перехода от логарифмической к линейной функции необходимо сделать замену = ln . Таким образом,

Продолжение таблицы 1.3

Значение определяется по следующей формуле:

логарифмической функцией = ln + представлена на рисунке 1.5.

Рисунок 1.5 – Диаграмма разброса (корреляционное поле) параметров и с логарифмической функцией = ln +

9

Используя инструмент «Регрессия», включенный в настройку «Анализ данных» программы Microsoft Excel, для модели = ln + были получены эмпирические коэффициенты: = 17,03; = 10,27 (рисунок 1.6).

Рисунок 1.6 – Полученные эмпирические коэффициенты и

С помощью F-статистики Фишера можно выяснить соответствие линейной модели экспериментальными данными. Оно находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели:

рег( )расч = ад( ) .

Гипотеза о наличии линейной регрессии между параметрами (факторами) и и откликом принимается если выполняется условие

расч > кр ( ; 1, 2).

Объясненная дисперсия рег( )

=1

10