курсач цепь 2 порядка 19 вар

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

«ЛЭТИ» ИМ. В.И. УЛЬЯНОВА (ЛЕНИНА)

Кафедра ТОЭ

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Теоретические основы электротехники»

Тема: «Аналитический расчёт переходных процессов в электрических цепях»

Студент гр. 1585		Хватов А.В.
Преподаватель		Константинова Е.В.

Санкт-Петербург

2023

АННОТАЦИЯ

В ходе курсовой работы будут выполнены следующие требования: составлены уравнения состояния цепи для t ≥ 0 и найдены их аналитические решения; найдены решения уравнений, используя численную процедуру Эйлера; определено уравнение связи напряжения u_Rн (t) на резисторе R_н с переменными состояния i_L (t) и u_C (t); построены графики аналитического и численного решения для i_L(t) и u_C (t); построен график u_Rн (t).

SUMMARY

During the course work, the following requirements will be met: the equations of state of the circuit for t ≥ 0 are compiled and their analytical solutions are found; solutions of the equations of state using the numerical Euler procedure; the equation of the connection of the voltage u_Rн (t) on the resistor R_н with the state variables i_L (t) and u_C (t) is determined; graphs of analytical and numerical solutions for i_L(t) and u_C (t); a graph of u_Rн (t) is constructed.

ЗАДАНИЕ

НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

Дата выдачи задания: 17.10.2022 Дата сдачи курсовой работы: 16.11.2022
Дата защиты курсовой работы:
Студент		Хватов А.В.
Преподаватель		Константинова Е.В.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 4

1. Составление уравнений состояния цепи 5

2. Аналитическое решение уравнений состояния 8

3. Решение уравнений состояния численным методом 10

4.Построение графиков аналитического и численного решений 12

5. Определение уравнения связи реакции на выход 16

6. Построение графика заданной реакции 18

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 19

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 20

ВВЕДЕНИЕ

В настоящей курсовой работе представлен анализ RLC-цепи во временной области. Для расчётов использованы метод наложения, закон напряжений Кирхгофа, закон Ома. Приведён расчёт по методу переменных состояний при постоянном воздействии. В результате вычислений получены уравнения состояния цепи. С помощью алгоритма Эйлера в программах EXCEL и MATLAB составлены графики аналитических и численных решений. Также в работе выведены уравнения связи элемента R_Н с переменными i_Н(t) и u_Н(t), для последнего построен график.

1. Составление уравнений состояния цепи

Поскольку в исследуемой цепи имеются ненулевые независимые начальные условия, то для определения уравнений состояния заменим в исходной схеме цепи (рис 1.1.) для t > 0 все L-элементы - источниками тока i_L(t), а все C-элементы -- источниками напряжения u_C(t). Тогда цепь будет иметь вид, представленный на рис 1.2.

В полученной резистивной цепи методом наложения найдем u_L(t) и i_C(t).

;

Cложив все составляющие, получаем выражения:

Таким образом:

Поделив соответствующие уравнения на L и С, получаем уравнения состояния:

2. Аналитическое решение уравнений состояния

Алгебраизируем уравнения состояния:

Для определения характеристического уравнения приравняем к нулю определитель матрицы коэффициентов:

Вычислив определитель получаем характеристическое уравнение

Найдем его корни при помощи дискриминанта:

Корни - комплексно-сопряженные.

Таким образом общий вид точных уравнений состояния:

Подставив известные корни получим:

Определим и , рассмотрев уравнения состояния в установившемся режиме:

Найдем , подставив

Итого: .

В промежуточном итоге имеем:

Для того, чтобы найти постоянные необходимо определить независимые начальные условия . Для этого рассмотрим исходную цепь в состоянии до коммутации t < 0 (рис. 4)

Исходя из формул делителя тока и делителя напряжения:

Помимо этого, для определения необходимо знать начальные значения производных . Для это нужно рассмотреть уравнения состояний в момент t = 0⁺:

По законам коммутации и , получаем:

Теперь необходимо составить уравнения, из которых будет возможно найти. Для этого необходимо дифференцировать точные уравнения состояний и рассмотреть найденные производные в момент t=0⁺:

Подставив t=0⁺ в точные уравнения состояний получим:

Подставив t=0⁺ в вычисленные производные получим:

Тогда, зная значения A₁ и A₃ , можно определить оставшиеся постоянные:

Окончательный вид решений уравнений состояния:

3. Решение уравнений состояния численным методом

Для численного решения уравнений состояния воспользуемся алгоритмом Эйлера:

Учитывая, что и :

:

4.Построение графиков аналитического и численного решений

Для построения графиков аналитического и численного решения уравнений состояния была использована программа Microsoft Excel:

Рис 4.3. График зависимости тока катушки индуктивности от времени

Рис 4.4. График зависимости напряжения конденсатора от времени

5. Определение уравнения связи реакции на выход

Рис 5.1. Исходная цепь

Рис 5.3. Воздействие источника

Для определения уравнения связи реакции воспользуемся законом Ома и методом наложения. Рассмотрим воздействие источников цепи на R_Н

Таким образом ток определяется суммой токов :

Так как , а , то

Тогда, зная найдем

6. Построение графика заданной реакции

График реакции был построен при помощи программы MATLAB

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе курсовой работы был проведён анализ RLC-цепи во временной области. Для расчётов использовались метод наложения, закон напряжений Кирхгофа. Приведён расчёт по методу переменных состояний при постоянном воздействии. В результате вычислений получены системы уравнений состояний цепи, приведены графики их аналитических и численных решений. Указанные графики совпадают. Выведены уравнения связи элемента R_н с переменными i_н(t) и u_н(t), для последнего построен график. Таким образом, задание курсовой работы было выполнено.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Бычков Ю.А., Золотницкий В.М., Чернышев Э.П. Основы теории электрических цепей: Учебник для вузов. СПб.: Лань, 2002.

2. Бычков Ю.А., Золотницкий В.М., Чернышев Э.П. Сборник задач и практикум по основам теории электрических цепей. 2-е изд. – СПб.: Питер, 2007.

3. Барков А.П., Купова А.В., Соколов В.Н. Аналитический расчёт переходных процессов в электрических цепях. Учебно-методическое пособие. СПб: СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2020.