ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра технической кибернетики
ОТЧЕТ
по лабораторной работе №2.
по дисциплине «Моделирование»
«Специальные статистические методы обработки малого числа выборочных данных»
Проверил:
Гвоздев В. Е.
Вариант 17.
Цель работы: Изучение специальных статистических методов анализа малых выборок.
Задание на работу:
1.1. На основе выборочных данных (таблица 2 приложения) построить оценки законов распределения наработки до отказа следующими методами:
последовательных медиан;
уменьшения неопределенности;
сжатия ИЗР.
1.2. Составить полученные оценки на основе следующих метрик:
Где i, j – идентификаторы используемых методов (i, j = );
a, b – границы области изменения случайной величины x
Ход работы:
Исходные данные:
X |
17 |
1 |
18,5 |
2 |
17,2 |
3 |
17,1 |
4 |
18,6 |
5 |
18,0 |
6 |
17,4 |
7 |
18,2 |
8 |
17,9 |
9 |
17,7 |
10 |
18,1 |
11 |
17,2 |
12 |
17,6 |
13 |
18,6 |
14 |
17,5 |
15 |
17,7 |
16 |
17,7 |
17 |
17,1 |
18 |
18,7 |
19 |
18,4 |
20 |
17,9 |
21 |
17,5 |
22 |
17,6 |
23 |
18,3 |
24 |
17,3 |
25 |
18,5 |
26 |
17,7 |
27 |
18,5 |
28 |
17,8 |
29 |
17,0 |
30 |
17,6 |
Задание 1.1
На основе выборочных данных (таблица 1), построить оценки законов распределения наработки до отказа следующими методами:
последовательных медиан;
уменьшения неопределенности;
сжатия ИЗР.
Метод последовательных медиан
Изначально исходные данные {x1, x2,..., xN} располагаются в вариационный ряд, находится медиана этого ряда и на графике эмпирической функции распределения ставится точка с координатами и =0.5. Затем находятся медианы двух половин вариационного ряда и им в соответствие ставятся значения эмпирической функции 0.25 и 0.75 и т.д. Указанная процедура продолжается до тех пор, пока не будут рассмотрены все имеющиеся значения xi(i=1,2,...,N). В результате получается ряд точек Fn (х).
Нахождение начального и конечного значений функций распределения осуществляется по формулам:
где
Медиана выборки:
Таблица последовательных медиан и значений эмпирической функции распределения:
|
|
16,9 |
0 |
17 |
0,0625 |
17,1 |
0,125 |
17,2 |
0,1875 |
17,35 |
0,25 |
17,35 |
0,25 |
17,5 |
0,3125 |
17,6 |
0,375 |
17,7 |
0,4375 |
17,85 |
0,5 |
17,85 |
0,5 |
18 |
0,5625 |
18,1 |
0,625 |
18,2 |
0,6875 |
18,35 |
0,75 |
18,35 |
0,75 |
18,5 |
0,7625 |
18,6 |
0,875 |
18,7 |
0,9375 |
18,8 |
1 |
По полученным данным был построен график функции распределения, изображенный на рисунке 1.
Рисунок 1. График функции распределения
Метод уменьшения неопределенности
Выражение для эмпирической функции распределения, получаемой с помощью МУН, записывается в виде:
при xi-1xxi и
где - число одинаковых значений xi. МУН является частный.
При расчете получились следующие значения F(xi):
|
|
17,0 |
0,00 |
17,1 |
0,07 |
17,1 |
0,10 |
17,2 |
0,13 |
17,2 |
0,17 |
17,3 |
0,17 |
17,4 |
0,20 |
17,5 |
0,27 |
17,5 |
0,30 |
17,6 |
0,37 |
17,6 |
0,40 |
17,6 |
0,43 |
17,7 |
0,50 |
17,7 |
0,53 |
17,7 |
0,56 |
17,7 |
0,59 |
17,8 |
0,60 |
17,9 |
0,60 |
17,9 |
0,63 |
18,0 |
0,63 |
18,1 |
0,67 |
18,2 |
0,70 |
18,3 |
0,74 |
18,4 |
0,77 |
18,5 |
0,87 |
18,5 |
0,90 |
18,5 |
0,93 |
18,6 |
0,93 |
18,6 |
0,97 |
18,7 |
0,97 |
График функции распределения, полученный методом уменьшения неопределенности представлен на рисунке 2.
Рисунок 2. График функции распределения
Метод сжатия изр
Наиболее предпочтительным при инженерных расчетах является алгоритм, основанный на минимизации дисперсии. В этом случае члены ряда (7) определяются следующим образом:
Рассчитанные значения ai:
xi |
i |
ai |
17,0 |
1 |
0,03 |
17,1 |
2 |
0,06 |
17,1 |
3 |
0,10 |
17,2 |
4 |
0,13 |
17,2 |
5 |
0,16 |
17,3 |
6 |
0,19 |
17,4 |
7 |
0,23 |
17,5 |
8 |
0,26 |
17,5 |
9 |
0,29 |
17,6 |
10 |
0,32 |
17,6 |
11 |
0,35 |
17,6 |
12 |
0,39 |
17,7 |
13 |
0,42 |
17,7 |
14 |
0,45 |
17,7 |
15 |
0,48 |
17,7 |
16 |
0,52 |
17,8 |
17 |
0,55 |
17,9 |
18 |
0,58 |
17,9 |
19 |
0,61 |
18,0 |
20 |
0,65 |
18,1 |
21 |
0,68 |
18,2 |
22 |
0,71 |
18,3 |
23 |
0,74 |
18,4 |
24 |
0,77 |
18,5 |
25 |
0,81 |
18,5 |
26 |
0,84 |
18,5 |
27 |
0,87 |
18,6 |
28 |
0,90 |
18,6 |
29 |
0,94 |
18,7 |
30 |
0,97 |
Полученный график изображен на рисунке 3.
Рисунок 3. График функции распределения