ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра технической кибернетики

Марковские процессы

(уравнения Колмогорова)

Проверил:

Гвоздев В. Е.

Задание

По заданному графу состояния, интенсивности потоков переходов и оценкам эффективности, соответствующим каждому состоянию, рассчитать:

1) Вероятности состояний

2) Среднюю эффективность системы

Вариант 17.

Значение Λij:

Наименование	Λ01	Λ12	Λ23	Λ24	Λ45	Λ26	Λ05
Значение	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7

Значение Μji:

Наименование	Μ10	Μ21	Μ32	Μ42	Μ54	Μ62	Μ50
Значение	0.15	0.25	0.35	0.45	0.55	0.65	0.75

Значение Si:

Наименование	S0	S1	S2	S3	S4	S5	S6
Значение	15	13	14	5	6	7	8

Решение

Составим систему уравнений для нахождения вероятностей:

Подставим значения Λij Μji:

Приведем к необходимому для решения виду, отбросив одно из уравнений и добавив в систему условие нормировки :

Полученные вероятности:

Средняя эффективность системы:

Вывод: В ходе практической работы были изучены уравнения Колмогорова и получены навыки их решения.

Ответы на контрольные вопросы:

1. Что такое «процесс с дискретным состоянием»?

Процесс называется процессом с дискретным состоянием, если его возможные состояния S_1, S₂,…., S_i можно заранее перечислить (перенумеровать), и переход системы из состояния в состояние происходит «скачком», то есть практически мгновенно.

2. В чем смысл понятия «процесс с непрерывным временем»?

Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов из состояния в состояние не фиксируются заранее, а неопределенны, случайны (то есть могут происходить в любой момент времени).

3. В чем особенности регулярных, стационарных потоков и потоков без последействия?

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные, равные промежутки времени. Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени (то есть среднее число событий, приходящихся на единицу времени, постоянно и от времени не зависит). Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени T(тау)1 и T(тау)2 число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой.

4. Перечислите свойства простейшего потока и дайте их содержательное толкование.

Различают следующие основные свойства, которыми могут обладать случайные потоки событий: 1) стационарность; 2) ординарность; 3) отсутствие последействия. Стационарность. Свойство стационарности проявляется в том, что вероятность попадания того или иного числа событии на участок времени t зависит только от длины участка и не зависит от расположения на оси 0t. Другими словами, стационарность означает неизменность вероятностного режима потока событий во времени. Поток, обладающий свойством стационарности, называют стационарным. Для стационарного потока среднее число событий, воздействующих на систему в течение единицы времени, остается постоянным. Ординарность. Свойство ординарности потока присутствует, если вероятность попадания на элементарный участок времени двух и более событии пренебрежимо мала по сравнению с длиной этого участка. Свойство ординарности означает, что за малый промежуток времени практически невозможно появление более одного события. Поток, обладающий свойством ординарности, называют ординарным. Отсутствие последействия. Данное свойство потока состоит в том, что для любых непересекающихся участков времени количество событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другие участки времени. Поток, обладающий свойством отсутствия последействия, называют потоком без последействия.

5. Что такое «размеченный граф состояний»?

Граф состояний системы с проставленными у стрелок интенсивностями  называется размеченным.

6. Что описывают уравнения Колмогорова?

Если все потоки событий, переводящие систему S из состояния в состояние простейшие, то процесс, протекающий в системе, будет Марковским. Имея размеченный граф состояний можно построить модель протекающего в системе процесса.

Пусть рассматриваемая система S, имеющая n возможных состояний S₁, S₂,…,S_n. Вероятностью i-го состояния назовем вероятность того, что в момент t система будет находиться в состоянии S_i. Очевидно,

7. Что такое «финальные вероятности состояний»?

В теории случайных процессов доказано, что если число n состояний конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое, то финальные вероятности состояний существуют.

8. При соблюдении каких условий уравнения Колмогорова, представленные в виде системы дифференциальных уравнений можно преобразовать в систему линейных алгебраических уравнений?

Если при установившемся режиме , то есть решение системы дифференциальных уравнений и можно свести к решению системы алгебраических уравнений.

Ответ неверный. Критерием является возможность перехода из состояние в состояние за конечное число шагов

9. Дайте описание области применимости уравнений Колмогорова.

Дифференциальные уравнения Колмогорова – Чепмена находят широкое применение в различных областях: при моделировании популяций, в теории массового обслуживания, в физических процессах прохождения частиц через Марковскую среду, в прикладных игровых задачах теории вероятностей и исследования операций и т.д.

Ответ под копирку. На следующей практике поясните мне содержание этой задачи. В случае, если смысла задачи пояснит не сможете, оценка будет снижена

4

Думаю к этому моменту все уже поняли, что у дяди есть привычка доебываться до ответов на контрольные вопросы, а мы глупые студенты, на удаленке, не понимающие гения нашего профессора, так что без комментариев…