ЭАиТЧ_ПР2_Целая и дробная части числа. Функция Эйлера. Число и сумма делителей натурального числа

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего образования

“Юго–Западный государственный университет”

Кафедра информационной безопасности

Лабораторная работа №2

По дисциплине “Элементы алгебры и теории чисел”

По теме “ Целая и дробная части числа. Функция Эйлера. Число и сумма делителей натурального числа”

Выполнил: студент группы ИБ-11б

Гребенникова А.И.

Проверил проф. Добрица В.П.

Курск 2023г.

Цель: изучить понятия целой и дробной части действительного числа, мультипликативной функции, функцию Эйлера для натурального аргумента, функции числа и суммы делителей натурального числа.

Ход работы:

Задание 1. Найти целую и дробную части от:

Вариант 5.

а) ;

Заметим, что , значит, целую часть можно определить следующим образом:

– дробная часть (Проверьте запись!) Исправлено.

б)

(Поясните!)

Целая часть из 3,154901….. равна 3.

(Проверьте запись!) (Неужели точно 0,15? А может ли дробная часть быть отрицательной?)

Дробная часть равна 0,1549

Исправлено. (Не совсем точно.) Исправлено. Ошиблась со знаком числа.

в)

(Вы уверены?) Исправлено.

г)

(Проверьте запись!) Исправлено. (Точное равенство?)

Целая часть из 2,7144… равна 2.

Дробная часть равна 0,7144

д) ;

(Это заведомо 0!) Исправлено.

Задание 2. Вычислить функцию Эйлера φ(a) для числа а =2310

Найдём каноническое представление числа

(Какая еще есть формула вычисления функции Эйлера?)

Задание 3. Вычислить число делителей τ(а) для числа а =2310

Задание 4. Вычислить сумму делителей σ(а), для числа а =2310

Задание 5. Найти показатель, с которым число а входит в n!

Вариант 5. а = 11, n =314!

Задание 6. По значению известной функции Эйлера φ(a) найти число a=2^α∙3^β∙5^γ∙7^δ

Вариант 5. φ(a)=560

1. Сначала предположу, что все они строго больше 0. Тогда в соответствии с формулой получу равенство:

Отсюда следует, что а = 2450. Но так как 2450 не делится на 3, значит, предположение, что не верно.

2. Будем предполагать теперь, что один из показателей равен 0. Рассмотрю первый из них , а остальные больше 0.

Тогда имею равенство:

Отсюда следует, что а = 1225. Но 1225 не делится на 3, т.е. предположение, что не верно.(Это о том же?)

В данном предположении я представила, что , а . Судя из равенства, никак не может быть больше 0, поскольку в данном случае нам необходимо, чтобы 3^β=1 (Это вообще невозможное равенство!), а это возможно тогда и только тогда, когда . Я имела ввиду 3^β=1, опечатка.

3. Предположим, что , а остальные показатели положительные. В этом случае имею

Отсюда . Левая часть делится на 3, а правая нет. Полученное противоречие доказывает, что этого случая тоже быть не может.

4. Предположим, что , а остальные показатели положительные. В этом случае имеем

.

Но в этом разложении нет 3, что противоречит предположению.

5. Наконец, предположу, что , а остальные показатели положительные. В этом случае имеем:

,

Отсюда следует, что

Сделаю проверку.

Ответ: .

(А может ли быть 2 показателя равными 0?) (Где ответ?)Ниже, после исследования.

6. Предположим, что . Тогда

Показатель должен быть целым числом, следовательно, утверждение неверно. (Это к чему относится? Поясните утверждение. Приче здесь модуль?) В данном исследовании я доказала, что при , показатель а не делится на 5 или 7, а потому утверждение неверно.

7. Предположим, что . Тогда

Показатель должен быть целым числом, следовательно, утверждение неверно. (Это к чему относится? Поясните утверждение. Приче здесь модуль?) В данном исследовании я доказала, что при , показатель а не делится на 2 или 3, потому утверждение неверно. (Разве делимости на 2 нет?) При , показатель а не делится на 3, потому утверждение неверно

8. Предположим, что . Тогда

Число 1400 не делится на 3, значит, предположение неверно. (А зачем эта делимость, если ?)

Тогда

Проверка:

Предположение неверно.

9. Предположим, что . Тогда

Проверка:

(Но у Вас в разложении 1050 ест еще 2 и 7!)

Предположение неверно.

10. Предположим, что . Тогда

Поскольку показатель a не делится на 3, то данное предположение неверно.

11. Предположим, что . Тогда

Проверка:

Предположение неверно.

Отсюда следует, что 2 показателя не могут быть равны 0.