Лекции и пособия / Организация строительства. Календарное и сетевое планирование Михайлов

							Резерв времени событий					Т а б л и ц а 2.15
	Событие				Ранний срок				Поздний срок			Резерв времени
						Тр (i)				Тп (i)		R(i)
		0*				0			0			0
		1				3			4			1
		2				6			7			1
		3*				4			4			0
		4*				8			8			0
		5				10			11			1
		6*				14			14			0
		7				16			18			2
		8*				22			22			0
												Т а б л и ц а 2.16
			Временные характеристики сетевого графика
												Частный
			Продолж.				Раннее			Позднее				Общий
Код рабо-			работы				начало			окончание		резерв		резерв
ты i-j			ti j				р.н			п.о		времени		времени
							ti j			ti j		r		R
												0
0-1			3				3			4				1
0-3			4				4			4		0		0
0-4			5				8			8		3		3
1-2			3				6			7		0		1
2-5			4				10			11		0		0
5-7			6				16			18		0		2
2-7			4				16			18		6		8
7-8			4				22			22		2		2
3-5			4				10			11		2		3
5-8			7				22			22		5		5
3-4			4				8			8		0		0
4-6			6				14			14		0		0
5-6			3				14			14		1		1
6-8			8				22			22		0		0

Резерв времени некритической дуги b находим как разность между длиной замыкающего критического участка a и длиной самой некритической дуги:

R(b) = a – b.

261

Коэффициент напряженности некритической дуги определим как

N(b) ba 1 Ra(b)

Дуги, коэффициент напряженности которых N(b) > 0,8 составляют критическую зону, дуги с коэффициентом напряженности 0, 6 ≤ N(b) ≤ 0,8 образуют подкритичную зону, а дуги с коэффициентом N(b) < 0,6 создают резервную зону.

Критический путь проходит через события с нулевым резервом времени 0 – 3 – 4 – 6 – 8 = 4 + 4 + 6 + 8 = 22 ед. времени.

В нашем случае в критическую зону попадает критический путь, а также дуги 0-1-2-5-6; 0-1-2-5-7-8 и 0-4-6. Они быстрее всего могут перейти на критический путь. В подкритической зоне нахо-

дятся дуги 0-1-2-7-8; 0-1-2-5-8 и 0-3-5-6. Дуга 0-3-5-8 образует резервную зону.

Рис. 2.25. Сетевой график

Т а б л и ц а 2.17 Резервы времени и коэффициенты напряженности

некритических дуг

	Некритические дуги	a	b	Резерв времени	N(b)
				R(b) = а – b.
	0-1-2-5-6	14	13	1	≈ 0,93
	0-1-2-5-7-8	22	20	2	≈ 0,91
	0-1-2-7-8	22	14	8	≈ 0,64
	0-1-2-5-8	22	14	8	≈ 0,64
	0-3-5-6	10	7	3	≈ 0,70
	0-4-6	6	5	1	≈ 0,83
	0-3-5-8	18	8	10	≈ 0,44

262

2.10. Вероятностные характеристики сетевых планов

Сетевое планирование и управление основано на построении графической модели определенного комплекса работ, отражающего их логическую последовательность, взаимосвязь и длительность, с последующей оптимизацией разработанного графика и его параметров. Существуют различные классификации типов сетевых моделей. В зависимости от наличия вероятностных элементов сетевые модели могут иметь детерминированную, стохастическую (случайную) и смешанную структуру.

Вдетерминированных моделях все работы, их взаимосвязи,

продолжительность и требования к ожидаемым конечным результатам работ строго определены. Продолжительность работ при этом устанавливается (принимается) по нормативным и другим регламентирующим документам (ГЭСН, ЕНиР и др.). Для детерминированных моделей целесообразно использовать аналитический, графический или табличный способы определения временных характеристик.

Втом случае, если работы включены с некоторой вероятностью, то структура сетевой модели носит случайный (стохастический) характер. Оценка временных характеристик осуществляется методами теории вероятностей и математической статистики.

Смешанные модели содержат как детерминированные, так и случайные события (работы, процессы).

Сети бывают также одно-и многоцелевые. К одноцелевым моделям относят сети, планирование которых направлено на достижение одной цели. Для многоцелевых сетей характерно наличие нескольких целей достижения. Основным недостатком является определенная трудность их математического описания.

Известно, что наиболее распространенным законом распределения случайной величины является нормальный, для описания которого достаточно знание лишь двух его характеристик: математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение

Вероятность того, что время выполнения какой-либо работы

находится внутри интервала tmin ;tmax , равно 0,9973.

tmin - минимально необходимое время для выполнения работы

при наиболее благоприятном стечении обстоятельств (оптимистическая оценка);

263

tmax - максимально необходимое время для выполнения работы

при наиболее неблагоприятном стечении обстоятельств (пессимистическая оценка);

t - наиболее вероятное время выполнения работы, при нор-

мальных и часто встречающихся условиях.

При нормально распределенной случайной величине, абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднеквадратического отклонения.

Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднеквадратическое отклонение, очень мала, и составляет 0,0027. Т.е. в 0,27% случаев так может произойти, поэтому их называют практически недостоверными.

Многочисленные исследования сетевого планирования отмечают наличие асимметрии в оценке ожидаемого времени выполнения работ, т.е. имеется его смещение при математической оценке. Для оценки такого смещения используют зависимости для математического ожидания и дисперсии.

Для трехпараметрической модели ожидаемую продолжительность работ (tож) и дисперсию (σ) определяют по формулам:

	tож		tmin 4 t tmax ;			(tmax tmin )2 .
			6			6
	Для двухпараметрической модели, соответственно:
	tож	3	tmin 2 tmax ;		(tmax tmin )2
			5			5

Для оценки разбросов между двумя видами оценок приравняем две дисперсии:

	tmax tmin	2	tmax tmin	2		(tmax tmin )2		(tmax tmin )2		11	0,012
										900
	5		6			25		36

То есть, расхождение не превышает 12%, в практических расчетах это не такая уж и существенная величина. А это означает что в практике возможно использование обеих оценок.

Анализ сетевого графика производится с целью сокращения критического пути, затрат ресурсов и уменьшения ненужных резервов времени. Анализ также позволяет оценить целесообразность структуры графика, определить степень сложности выполнения каждой работы, вероятность наступления событий в заданный (директивный) срок, загрузку исполнителей работ на всех этапах выполнения проекта.

264

Степень сложности работ можно определить с помощью коэффициента напряженности работ:

k			t	t*
			max	кр
	н		Ткр	tкр*

Где, tmax продолжительность максимального пути, проходящего через данную работу; tкр* - продолжительность отрезка максимально-

го пути, совпадающего с критическим путем; Ткр – продолжительность критического пути.

Пример: Для трехпараметрической модели найти ожидаемое время выполнения проекта, определить вероятность выполнения проекта не позднее заданного срока Т=22 ед.времени, найти интервал гарантированного времени выполнения проекта с вероятностью Р=0,9973.

Решение

Сначала необходимо выполнить расчет графика по детерминированным временным оценкам одним из любых способов.

Т а б л и ц а 2.18 Расчет сетевого графика по детерминированным

временным оценкам

	Продолж.	Раннее	Позднее	Частный	Общий
Код рабо-	работы	начало	окончание	резерв	резерв
ты i-j	ti j	р.н	п.о	времени	времени
		ti j	ti j	r	R
				0
0-1	3	3	4		1
0-3	4	4	4	0	0
0-4	5	8	8	3	3
1-2	3	6	7	0	1
2-5	4	10	11	0	0
5-7	6	16	18	0	2
2-7	4	16	18	6	8
7-8	4	22	22	2	2
3-5	4	10	11	2	3
5-8	7	22	22	5	5
3-4	4	8	8	0	0
4-6	6	14	14	0	0
5-6	3	14	14	1	1
6-8	8	22	22	0	0

265

Далее строим сетевую модель по детерминированным параметрам:

Рис. 2.26 Сетевая модель к примеру расчета

Для трехпараметрической модели ожидаемую продолжительность работ (tож) и дисперсию (σ) определяют по формулам:

	tож	tmin 4 t tmax ;		(tmax tmin )2 .
		6		6

Значения tmin и tmax задаются. Исходные временные оценки и рас-

считанные на их основе величины приведены в табл. 2.19.

Т а б л и ц а 2.19 Данные для расчета вероятностной сетевой модели

Код работы	t	tmin	tmax	tож	σ2
0-1	3	2	4	3	0,67
0-3	4	3	6	4,17	1,5
0-4	5	4	8	5,17	2,67
1-2	3	2	6	3,33	2,67
2-5	4	2	8	4,33	6
5-7	6	3	9	6	6
2-7	4	2	7	4,17	4,17
7-8	4	2	7	4,17	4,17
3-5	4	2	7	4,17	4,17
5-8	7	5	10	7,17	4,17
3-4	4	2	7	4,17	4,17
4-6	6	4	10	6,33	6
5-6	3	2	5	3,17	1,5
6-8	8	5	12	8,17	8,17

266

	t	0 1		2 4	3	4	3	;	0 3		3 4 4 6		4,17	;
		ож		6					tож		6
tож0 4	3 4			5 8	5,17;				tож1 2 2 4 3 6			3,33;		и т.д.
			6								6

Аналогично выполняется расчет и для двухпараметрической модели, она несколько проще, но дает и менее точные оценки.

Далее необходимо выполнить расчет сетевого графика, используя оценки ожидаемой длительности работ tож .

Т а б л и ц а 2.20 Расчет сетевого графика по ожидаемым длительностям работ

		Раннее	Позднее	Частный	Общий
Код рабо-	tож	начало	окончание	резерв	резерв
ты i-j		р.н	п.о	времени	времени
		ti j	ti j	r	R
				0
0-1	3	3	3,84		0,84
0-3	4,17	4,17	4,17	0	0
0-4	5,17	8,34	8,34	3,17	3,17
1-2	3,33	6,33	7,17	0	0,84
2-5	4,33	10,66	11,5	0	0,84
5-7	6	16,66	18,67	0	2
2-7	4,17	16,66	18,67	6,16	8,17
7-8	4,17	22,84	22,84	2	2
3-5	4,17	10,66	11,5	2,32	3,16
5-8	7,17	22,84	22,84	5	5
3-4	4,17	8,34	8,34	0	0
4-6	6,33	14,67	14,67	0	0
5-6	3,17	14,67	14,67	0,84	0,84
6-8	8,17	22,84	22,84	0	0

На критическом пути лежат работы 0-3-4-6-8. Дисперсия критического пути составит:

σ2= 1,5+4,17+6+8,17=19,84

Среднеквадратическое отклонение критического пути

кр 19,84 4,45

Найдем вероятность того, что проект будет выполнен не позднее заданного срока t=22 ед. времени (детерминированная продолжительность критического пути). В случае, если дисперсия > 0, вероятность наступления события в заданный (директивный) срок можно определить с помощью функции Лапласа по формуле:

267

	Тдир Ткр			22 22,84
P 0,5 Ф			0,5 Ф		0,5 Ф( 0,188)	0,5 0,0753 0,42
				4,45

Где Тдир - директивный срок наступления завершающего события; Tкр - срок наступления завершающего события при движении по критическому пути; Ф(х) - значение функции Лапласа.

Определив	x	Tдир Т	кр ,

и найдя по таблице значение функции Лапласа (Приложение 3), определяем вероятность наступления завершающего события в заданный (директивный) срок. Если значение Р находится в интервале от 0,35 до 0,65, то считается, что разработанная сетевая модель уложится в директивный срок. Таким образом, проведенный анализ надежности сетевой модели показывает, что выполнение рассматриваемого проекта за 22 ед. времени вполне вероятно.

Найдем интервал гарантированного времени выполнения проекта, для этого воспользуемся правилом «трех сигм»:

3 кр 3 4,45 13,35

т.е. вероятность почти 0,9973, что проект будет выполнен

22,84±13,35 ед.времени.

P(9,49 tкр 36,19) Р(tкр 22) 13,35 0,9973

Более точное значение:

P(9,49 tкр 36,19) 2Ф 13,35 2Ф(3,0) 2 0,49865 0,99734,45

P(tкр 36,19) 0,5 Ф 36,19 22,84 0,5 Ф(3,0) 0,5 0,49865 0,998654,45

Следовательно, можно с большой долей уверенности гарантировать, что срок выполнения проекта не превысит 36 ед. времени. Подсчитаем резервы времени и коэффициенты напряженности некритических дуг.

Дуги, коэффициент напряженности которых N(b) > 0,8 составляют критическую зону, дуги с коэффициентом напряженности 0, 6 ≤ N(b) ≤ 0,8 образуют подкритичную зону, а дуги с коэффициентом N(b) < 0,6 создают резервную зону.

В нашем случае в критическую зону попадает критический путь, а также дуги 0-1-2-5-6; 0-1-2-5-7-8 и 0-4-6. Они быстрее всего могут перейти на критический путь. В подкритической зоне нахо-

268

дятся дуги 0-1-2-7-8; 0-1-2-5-8			и 0-3-5-6. Дуга 0-3-5-8 образует ре-
зервную зону (табл. 2.21).				Т а б л и ц а 2.21
	Резервы времени и коэффициенты напряженности
		некритических дуг
	Некритические дуги	a	b	Резерв времени	N(b)
				R(b) = а – b.
	0-1-2-5-6	14,67	13,83	0,84	≈ 0,94
	0-1-2-5-7-8	22,84	20,84	2	≈ 0,91
	0-1-2-7-8	22,84	14,67	8,17	≈ 0,64
	0-1-2-5-8	22,84	1,674	8,17	≈ 0,64
	0-3-5-6	11,51	8,17	3,34	≈ 0,71
	0-4-6	6,33	5,17	1,16	≈ 0,82
	0-3-5-8	15,51	8,40	7,11	≈ 0,54

Рассмотрим самую напряженную некритическую дугу 0-1-2-5-6, ее коэффициент напряженности 0,94. Найдем ее среднеквадратическое отклонение (табл.2.19).

02 1 2 5 6 0,67 2,67 6 1,5 10,84

0 1 2 5 6 10,84 3,29

Среднеквадратическое отклонение данной дуги (3,29) меньше среднеквадратического отклонения критического пути (4,45). Значит ожидаемое значение этой дуги 13,83±3,29. А это меньше чем ожидаемое значение критической дуги 22,84±4,45, на которую эта некритическая дуга опирается.

Несмотря на высокий коэффициент напряженности (0,94) переход на критическую дугу маловероятен.

Если среднеквадратическое отклонение некритической дуги больше среднеквадратического отклонения критической дуги, на которую она опирается, и ожидаемое значение такой дуги с учетом этого отклонения может превысить ожидаемое значение опорной критической дуги, то следует найти вероятностные характеристики критического пути, проходящего через такую дугу. В качестве окончательного варианта выбирают наихудшие показатели альтернативных критических путей.

Если в сетевом графике имеются параллельные критические пути, то выбирают критический путь с наибольшим среднеквадратическим отклонением.

269

2.11. Оптимизация стоимости сетевых проектов

Оптимизацию сетевого проекта в стоимостном выражении рассмотрим на примере. Допустим, необходимо минимизировать стоимость проекта при минимально возможном сроке его исполнения. Стоимость одного дня проекта равна 20 денежным единицам: S=20.

Принимая tmax продолжительность работы с минимально допусти-

мой интенсивностью, а продолжительность работы с возможно максимальной интенсивностью - tmin , найти оптимальный по стоимости

вариант выполнения проекта.

			Т а б л и ц а 2.22
	Исходные данные к задаче
Код работы	tmin	tmax	Стоимость сокращения
			работы на один день, sk
0-1	2	3	6
0-3	3	4	8
0-4	4	5	10
1-2	2	3	6
2-5	2	4	8
5-7	3	6	6
2-7	2	4	8
7-8	2	4	8
3-5	2	4	8
5-8	5	7	14
3-4	2	4	8
4-6	4	6	12
5-6	2	3	6
6-8	5	8	16

Решение:

Графическим способом построим сетевой график для работ с максимальной продолжительностью (рис. 2.27).

Критический путь Ткр =22 ед. времени. Стоимость проекта S (tmax ) = 22∙20= 440 денежных единиц.

Рассмотрим возможность сокращения стоимости проекта за счет увеличения интенсивности работ на критическом пути. Найдем резервы некритических дуг.

270