Konspekt_Tv_2020_ch_4

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике.

Авторы: Лохвицкий М.С., Синева И.С.

3 семестр 2020/2021 учебный год.

Лектор – Лохвицкий Михаил Сергеевич

Часть 4

3.Некоторые важные распределения вероятностей

Из огромного количества распределений в данный раздел отобраны те, которые наиболее часто встречаются в различных приложениях и знание которых обязательно для эффективного использования вероятностностатистических методов при решении практических задач.

3.1. Дискретные случайные величины

3.1.1. Вырожденное распределение

Случайная величина – постоянная a.Тогда:

( )

Данное распределение в каком-то смысле «примиряет» детерминистов и вероятностников, поскольку неслучайные величины оказываются частным случаем случайных величин.

3.1.2. Биномиальное распределение B(n, p). (Распределение Бернулли).

Случайная величина X – число наступлений события А в n испытаниях схемы Бернулли.

X может принять значения 0, 1,…,n. Закон распределения СВ (в форме ряда распределения) имеет вид:

Замечание. Закон называется биномиальным так как вероятности, стоящие во второй строчке таблицы, являются слагаемыми бином Ньютона:

( )

Параметрами у этого закона являются: n, p.

Для нахождения числовых характеристик СВ введем в рассмотрение новые случайные величины k=0, 1, …, n.

Пример 3.1. Гнутая монетка подбрасывается 30 раз .Вероятность выпадения герба p=0,6.Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение для СВ –числа появлений герба в 30 испытаниях.

Решение.

√=√

3.1.3. Гипергеометрическое распределение

( )

Встречается в задачах выбора без возвращения: в исходной совокупности из N элементов имеется М элементов вида А и N-М элементов вида В. Наудачу выбирается n элементов. Данное распределение описывает вероятность того, что из избранных n элементов k принадлежит классу A и n- k классу В.

Используемые параметры:

3.1.4. Распределение Пуассона П( )

Появляется как предельное распределение для биномиального при (теорема Пуассона). Это распределение является одним из основных распределений, появляющихся в задачах массового

обслуживания (распределение количества заявок в очереди, числа занятых каналов, числа поступивших заявок за определѐнное время и т.п.)

Используемые параметры:

Найдем математическое ожидание :

Комментарии к действиям: 1. При переходе от первой суммы ко второй вынесли за знак суммы экспоненту и изменили нижний индекс с 0 на1, т.к. при k= 0 первое слагаемое в сумме равно 0. 2. При переходе от второй суммы к третьей сократили k и k!, в знаменателе стало (k-1)! 3. При переходе к четвертой сумме сделали замену (k-1)=l, k=l+1. 4.При переходе к пятой сумме вынесли в первой степени за знак суммы. 5. Полученный

ожидания (среднего значения) и называется интенсивностью закона. В

Итак, для СВ, распределѐнной по закону Пуассона, выполнятся равенство:

Замечание. Последнее свойство можно использовать при проверке гипотезы о том, что СВ распределена по закону Пуассона: если оценки величин близки, то нет оснований отвергать эту гипотезу. Но если оценки величин существенно отличаются, то гипотезу о распределении Пуассона нужно отвергнуть.

Пример 3.2. На базовую станцию поступает 120 вызовов в час. Считая, что число вызовов на любом промежутке времени распределено по закону Пуассона, найти вероятность того, что за три минуты на станцию поступит а) три вызова; б) не менее трех вызовов; в) хотя бы один вызов.

ние при N=30,n=10,M=10 и M=20

Рис 3.1 Многоугольники важнейших дискретных распределений вероятностей.

3.2.Непрерывные случайные величины

3.2.1.Равномерное распределение R(a,b)

постоянная на некотором интервале. Это распределение используется в теории сигналов, моделях массового обслуживания: а) при фазовой или

угол остановки фиксированной точки у сбалансированного колеса, д) величина погрешности при округлении.

Замечание. Проще можно найти значение c из геометрического смысла условия нормировки: площадь под графиком плотности равна 1. В данном случае это прямоугольник с длиной основания ( ) поэтому высота должна равняться

⁄.

Два распределения равномерного закона c различными значениями параметров a,b (а именно, ) изображены на рисунке 3.3. Найдем функцию распределения равномерного закона

={

График функции распределения изображен на рисунке 3.2.:

Рисунок 3.2. График функции распределения равномерного закона.

( )

Математическое ожидание у равномерного закона совпадает с серединой интервала. Дисперсия пропорциональна квадрату длины интервала, а среднее квадратическое отклонение пропорционально длине

интервала; √

√

3.2.2. Экспоненциальное (показательное) распределение ( )

Случайная величина с таким распределением встречается в задачах теории надѐжности (время «жизни» элемента системы), теории массового обслуживания (время обслуживания, время ожидания), приложениях физики элементарных частиц и т. п. Часто возникает в паре с распределением Пуассона (см. выше), причѐм значение параметра в этих распределениях одно и то же.

График функции распределения изображен на рисунке 3.4.

Рисунок 3.4. Функция распределения экспоненциального закона распределения.

Найдем математическое ожидание и дисперсию экспоненциального закона распределения:

( ) ∫

Замечание. При вычисление MX нужно применить интегрирование по частям, а при вычисление DX нужно применить интегрирование по частям дважды.

( ) ( ) ( ( )) ,

Вероятность попадания показательно распределенной случайной

Пример.3.3 Непрерывная случайная величина X распределена по

Пример.3.3 Длительность разговора по мобильному телефону, в

среднем, равна 3 минуты. Какова вероятность того, что произвольный

телефонный разговор будет длиться от трех до семи минут?

Пусть случайная величина X - длительность разговора по мобильному

3.2.3. Распределение Лапласа

Широко используется в описании речевых сигналов и изображений как распределение отклонений от некоторого среднего уровня или распределение изменений сигнала (изображения) при переходе к соседней точке.

Параметры:

Плотность распределения нормального закона имеет вид