Konspekt_TV_2020_ch_5
.pdfКонспект лекций по теории вероятностей и математической статистике.
Авторы: Лохвицкий М.С., Синева И.С.
3 семестр 2020/2021 учебный год.
Лектор – Лохвицкий Михаил Сергеевич
Часть 4
4.Функции от случайных величин
Классическая инженерная задача часто сводится к следующему: на вход некоторой системы подаѐтся воздействие X, которое в силу тех или иных причин не может быть задано или измерено абсолютно точно (т.е. X - случайная величина), система осуществляет некоторые преобразования случайной величины X. Требуется определить, что получится на выходе этой системы, т.е. как по случайному воздействию и известному преобразованию g(·) найти распределение Y = g(X). При этом в зависимости от ситуации X и Y могут быть векторными с.в..
4.1.Функции вида Y = g(X).
4.1.1.Функция g(X) монотонно возрастающая.
Закон распределения случайной величины X задан функцией
распределения |
|
|
(или плотностью распределения |
). Требуется |
||
найти функцию распределения |
|
и плотность распределения |
||||
с.в. Y = g(X). Функция распределения с.в. Y по определению равна |
||||||
{ |
} |
{ |
} |
{ |
} |
(4.1) |
Комментарий к выводу формулы (4.1).Так как функция g(x) монотонно возрастающая,
то у неѐ существует монотонно возрастающая обратная функция |
. Эту функцию |
|
мы применили к обеим частям неравенства |
, и получили |
но это |
неравенство используется при определении функции распределения с.в. X, только роль
переменной x играет |
|
|
|
Поэтому вероятность выполнения этого неравенства равна |
|||||||||||||||||||||||||
функции распределения в точке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Заключение. Чтобы получить функцию распределения |
, где Y = |
||||||||||||||||||||||||||||
g(X) (функция монотонна возрастающая) |
нужно в функцию |
||||||||||||||||||||||||||||
распределения с.в. X вместо x подставить |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Найдем плотность распределения с.в. Y = g(X). Для этого возьмем |
||||||||||||||||||||||||||
производную от функции распределения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Была использована формула дифференцирования сложной |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
функции, где |
|
|
|
Подставим вместо переменной |
u еѐ выражение, а |
||||||||||||||||||||||||
вместо производной от функции распределения с.в. Y поставим плотность |
|||||||||||||||||||||||||||||
распределения с.в. X: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.2) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4.1. Случайная величина X распределена по |
|||||||||||||||||||||||||
экспоненциальному закону |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найти закон распределения с.в. |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Решение: Найдем обратную функцию |
|
|
|
|
|
⁄ . Т.е. |
⁄ , |
||||||||||||||||||||||
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
⁄ . Подставим полученные выражения в формулу (4.2) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⁄ { |
|
|
|
⁄ |
|
|
|
|
|
⁄ |
⁄ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
={ |
|
|
|
/ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4.1.2. Функция g(X) монотонно убывающая.
Если функция g(x) монотонно возрастающая, то у неѐ существует
монотонно убывающая обратная функция |
. При применении к обеим |
|
частям неравенства |
убывающей функции знак неравенства нужно |
|
поменять на противоположный, и получим |
поэтому |
|
{ |
} |
{ |
} |
{ |
} |
{ |
} |
|
|
|
|
|
|
|
(4.3) |
После нахождения производной получим формулу для плотности распределения:
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.4) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
4.1.3. Функция g(X) монотонная |
|
||||||||||||||||||
Формулы (4.2) и (4.4) можно объединить в следующей формуле: |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
| |
|
|
|
|
| |
|
|
(4.5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4.2 .Случайная величина X распределена по нормальному закону Найти закон распределения с.в.
Решение. Найдем обратную функцию |
|
|
|
значит |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
( |
) |
⁄ . Подставим полученные формулы в (4.5) и в выражение |
||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||
для плотности нормального закона |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
( ) |
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
⁄| | |
⁄| | √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
√ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вывод. Линейное преобразование нормального закона также нормальный закон .
Пример 4.3 .Случайная величина X распределена по нормальному закону Найти закон распределения с.в.
Так как в соответствии с предыдущим выводом закон распределения будет нормальным, то достаточно найти MY и DY.
Закон распределения с.в. Y будет
Задача 4.1.Покажите, что линейное преобразование равномерного закона также равномерный закон.
4.1.4. Функция g(X) кусочно монотонная
Функция g(X) кусочно монотонная функции: область определения функции
можно разбить на интервалы, на каждом из которых функция |
g(X) |
монотонна и значит существует монотонная обратная функция |
. |
∑ |
| |
| |
(4.6) |
Пример 4.4. Случайная величина равномерно распределена на интервале Найти закон распределения с.в.
Решение. Функция |
на интервале |
|
возрастает и обратная |
||||||
функция для неѐ на этом интервале |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
На интервале (π/2, |
) ункция |
|
убывает и обратная |
|||
|
|
|
|||||||
⁄√ |
|
|
|
|
|
||||
функция имеет вид |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Плотность распределения с.в. X |
имеет вид: |
||||
|
|
|
|
||||||
⁄√ |
|
|
|
|
|
||||
{
Применим формулу (4.6) для нахождения плотности с.в. Y:
|
|
|
|
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
⁄√ |
|
|
|
|
|
|||
+ ⁄ |
|
{ |
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
||||||
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Комментарий. Интервал |
разбили на два: |
и |
|||||||
(π/2, |
|
|
|
|
|
|
|
в этой формуле x заменили на функции |
|
Применим функцию |
|
еравенству |
|
|
, |
||||
|
|||||||||
получим |
|
|
|
, |
|
|
Второе неравенство |
||
|
|||||||||
вначале преобразуем - |
|
|
|
|
|
|
, получили |
||
|
|
|
|
|
|
||||
такое же неравенство, как и в первом случае:
|
|
|
|
|
|
{ √ |
|
+{ √ |
|
||
={ √
4.2. Математическое ожидание функции от случайной величины
|
Если мы рассматриваем функцию от с.в. |
, т.е. случайную величину |
Y |
то для случая дискретной и непрерывной случайных величин для |
|
нахождения математического ожидания с.в. |
при известном распределении |
|
с.в. |
используется соответственно формулы: |
|
∑ |
(4.7) |
∫ |
(4.8) |
Пример. Пусть случайная величина – начальная фаза гармонического сигнала и имеет равномерное распределение в промежутке
а |
где |
параметры. Найдем среднее |
||||
значение этой с.в.. |
|
|
|
|
|
|
В данном случае |
|
поэтому |
||||
∫ |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Обратите внимание на то, что ту же задачу можно было решить подругому: найти плотность распределения (см. предыдущий раздел “функции от с.в.”) и потом воспользоваться определением математического ожидания, т.е. вычислить
∫
Предлагаем Вам проделать эти вычисления самостоятельно и получить тот же результат.