ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
1.Вещественные числа. Грани числового множества. Теорема о существовании точной верхней и нижней граней. Операции над вещественными числами. Свойства операций.
2.Понятие комплексного числа. Различные формы записи. Арифметические операции над комплексными числами, возведение в степень и извлечение корня.
3.Грани числового множества. Теорема о существовании точной верхней и нижней граней. Принцип вложенных отрезков.
4.Понятие числовой последовательности. Монотонные и ограниченные последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие числовые последовательности, их свойства. Сходящиеся последовательности. Ограниченность, единственность предела. Арифметические действия с пределами.
5.Предельный переход в неравенствах. Теорема о пределе двух последовательностей. Теорема “о двух милиционерах”.
6.Теорема о монотонной и ограниченной последовательности. Число “e”.
7.Подпоследовательности. Свойства. Верхний и нижний предел. Примеры.
8.Теорема Больцано-Вейерштрасса. Следствия.
9.Критерий Коши сходимости последовательности.
10.Понятие функции. Монотонные, четные, нечетные, ограниченные, неограниченные, сложные, обратные функции. Примеры.
11.Простейшие элементарные функции. Их графики.
12.Предел функции в точке. Эквивалентность определений по Коши и по Гейне. Односторонние пределы.
13.Критерий Коши существования предела функции.
14.Свойства пределов функции в точке.
15.Первый замечательный предел.
16.Второй замечательный предел.
17.Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
18.Применение эквивалентных бесконечно малых к вычислению пределов.
19.Теорема о пределе монотонных функций.
20.Непрерывность функции в точке. Определения по Коши и Гейне, непрерывность слева и справа. Свойства непрерывных функций.
21.Разрывные функции. Классификация точек разрыва. Примеры.
22.Непрерывность функции на отрезке. Теорема об ограниченности непрерывной функции.
23.Теорема о достижении непрерывной функцией максимума и минимума на отрезке.
24.Теорема о непрерывности обратной функции.
25.Равномерная непрерывность. Теорема о равномерной непрерывности Кантора.
26.Непрерывность элементарных функций.
27.Понятие производной функции в точке. Понятие дифференцируемости. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.
28.Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями. Производная обратной и сложной функций.
29.Производные основных элементарных функций.
30.Дифференциал функции, геометрический смысл производной и дифференциала.
31.Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
32.Производные от неявно заданных функций и функций, заданных параметрически.
33.Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.
34.Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.
35. Теорема Тейлора. Формулы Маклорена для основных элементарных функций.
36.Критерий монотонности дифференцируемой функции, нахождение участков монотонности с помощью первой производной.
37.Локальный экстремум функции. Необходимое и достаточное условия существования локального экстремума.
38.Асимптоты, выпуклость, точки перегиба графика функции.
39.Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Свойства. Таблица простейших интегралов.
40.Основные методы интегрирования. Замена переменного в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.
41.Интегрирование рациональных дробей.
42.Интегралы от дифференциального бинома.
43.Интегрирование некоторых иррациональных выражений.
44.Интегрирование тригонометрических выражений. Тригонометрические подстановки.