1 семестр / экзамен / ответы на вопросы

22. Непрерывность функции на отрезке. Теорема об ограниченности непрерывной функции.

Непрерывность функции на отрезке

Функция называется непрерывной на отрезке [ , ], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке .

Теорема об ограниченности непрерывной функции

Если функция ( ) непрерывна на отрезке [ , ], то она ограничена на нём сверху и снизу, т. е. существуют такие числа и , что для всех [ , ] справедливо неравенство ≤ ( ) ≤ .

23. Теорема о достижении непрерывной функцией максимума и минимума на отрезке.

Если функция ( ) непрерывна на отрезке [ ; ], то она ограничена на этом отрезке и достигает своего наибольшего и наименьшего значения.

24. Теорема о непрерывности обратной функции.

Если функция ( ) строго монотонна и непрерывна на отрезке [ , ] и интервал [ , ] – множество её значений, то существует обратная функция −1, являющаяся строго монотонной.

25. Равномерная непрерывность. Теорема о равномерной непрерывности Кантора.

Равномерная непрерывность

Функция называется равномерно непрерывной на множестве { }, если для любого положительного числа можно указать такое положительное , зависящее только от , что для любых двух точек ′ и ′′ множества { }, удовлетворяющих условию | ′′ − ′| < , выполняется неравенство | ( ′′) − ( ′)| < .

Теорема о равномерной непрерывности Кантора

Непрерывная на отрезке [ , ] функция равномерно непрерывна на этом отрезке.

26. Непрерывность элементарных функций.

Функция называется непрерывной в точке 0, если она определена на некоторой окрестности этой точки и если существует предел при → 0, и если этот предел равен значению функции в точке 0:

lim ( ) = ( 0)

→ 0

Всякая элементарная функция непрерывна во всех точках своего множества определения.

27. Понятие производной функции в точке. Понятие дифференцируемости. Необходимое и достаточное

условие дифференцируемости функции в точке.

Производная

Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента при ∆ → 0:

	′( ) = lim	∆	= lim	( 0 + ∆ ) − ( 0)
		∆		∆
	∆ →0		∆ →0

∆ – приращение функции ∆ – приращение аргумента

Понятие дифференцируемости

Функция называется дифференцируемой в данной точке, если приращение ∆ этой функции может быть представлено в виде ∆ = ∆ + ∆– некоторое число (зависящее от ), – функция аргумента ∆

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости

Для того чтобы функция являлась дифференцируемой в данной точке, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

(tg )′ =

28. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями.

Производная обратной и сложной функций.

Правила вычисления производных функций

( ( ) + ( ))′ = ′( ) + ′( ) ( ( ))′ = ′( )

( ( ) ( ))′ = ′( ) ( ) + ( ) ′( )

	( ) ′		′( ) ( ) − ( ) ′( )
(		) =
	( )		2( )

Производная обратной функции

Существует обратная функция = −1( ), которая определена в некоторой окрестности соответствующей точки

	0 = ( 0), дифференцируема в этой точке и имеет в этой точке производную, равную	1	.
		′( 0)

Производная сложной функции

Производная сложной функции находится как производная главной функции ( ), умноженной на производную внутренней функции ( ):

′

( ( ( ))) = ′( ( )) ′( )

29. Производные основных элементарных функций.

′ = 0′ = 1

( )′ = −1 ( )′ =

( )′ = ln (ln )′ = 1

(√ )′ = 1 2√

1 (log )′ = ln

(cos )′ = − sin (sin )′ = cos

1

cos2

1 (ctg )′ = − sin2

30. Дифференциал функции, геометрический смысл производной и дифференциала.

Дифференциал функции

Дифференциалом функции = ( ) в данной точке называют главную линейную относительно ∆ часть приращения этой функции в точке . Дифференциал обозначают как .

Геометрический смысл производной

Производная от функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой точке: ′( ) = tg =

Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал функции в точке 0 равен приращению ординаты касательной, проведённой к графику этой функции в этой точке.

∆ = + ( ) ∆ = ( 0) ∆ + ( ) ∆

tg =		→ = tg ∆ = (	) = ( )∆ =
∆		0	0

31. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

Производная

Производная второго порядка ′′( ) – производная от первого порядка ′( ) Производная -го порядка: ( ) = (( −1))′

Дифференциал

Дифференциал второго порядка – дифференциал от её дифференциала: 2 = ( ) Дифференциал -го порядка: ( ) = (( −1))

Формула Лейбница

( )( ) = ( ) + 1	( −1)	′ + 2	( −2) (2)	+ 3	( −3) (3)	+ + ( )

32. Производные от неявно заданных функций и функций, заданных параметрически.

Производная от неявно заданной функции

Если зависимость между и задана в неявной форме уравнением (, ) = 0, то для нахождения производной функции необходимо продифференцировать по обе части данного уравнения, рассматривая как функцию от , затем полученное уравнение решить относительно ′.

Функция, заданная параметрически

Пусть зависимость между и задана параметрическими уравнениями:

= ( ) { = ( )

Тогда производная этой функции находится как = ′

′

33. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.

Теорема Ферма

Если = 0 – экстремум функции и существует ′(0), то ′( 0) = 0.

Теорема Ролля

Если функция дифференцируема на отрезке и на его концах принимает одинаковые значения, то найдётся точка в этом отрезке, в которой ′( ) = 0.

Теорема Лагранжа

Если функция дифференцируема и непрерывна на отрезке, то найдётся такое значение , такое, что ( ) −( ) = ′( )( − ).

Теорема Коши

Если функции ( ) и ( ) дифференцируемы и непрерывны на отрезке, то найдётся такое значение, что

( ) − ( )		=	′( )
( ) − ( )			′( )

34. Раскрытие неопределённостей по правилу Лопиталя.

Раскрытие неопределённости

Если появляется такая неопределённость, то можно взять производную числителя и знаменателя.

	lim		= lim	′
	→		→ ′
	Раскрытие неопределённости					∞
						∞

Для вычисления такой неопределённости справедливо утверждение, аналогичное предыдущему, то есть:

lim		= lim	′
→		→ ′

Все остальные неопределённости сводятся к двум определённостям выше путём алгебраических преобразований.

35. Теорема Тейлора. Формулы Маклорена для основных элементарных функций.

Теорема Тейлора

Пусть функция ( ) имеет в некоторой окрестности точки производную порядка + 1 ( – любой фиксированный номер). Пусть – любое значение аргумента из указанной окрестности, – произвольное положительное число. Тогда между точками и найдется точка такая, что справедлива следующая формула:

′( )

(2)( )

( )( )

( )

= ( ) +

( − ) +

( − )2 + +

( − ) +

( )

1!

2!

!

+1

где формула остаточного члена имеет вид:

( ) = (

−

( − ) +1

+1( )

)

+1

−

!

Формула остаточного члена имеет общий вид, но также может быть записана в форме Лагранжа, Коши и Пеано.

Формула Маклорена

Формула Маклорена – формула Тейлора при = 0:

( )

= (0) +

′(0)

(2)(0)

2 + +

( )(0)

+

+

( )

1!

2!

!

+1

где остаточный член имеет вид

1) в форме Лагранжа:

( ) =

+1

( +1)( )

+1

( + 1)!

2) в форме Коши:

( ) =

+1(1 − )

( +1)( )

+1

!

3) в форме Пеано:

( ) = ( )

+1

Формула Маклорена для основных элементарных функций (остаточные члены в форме Лангража)

(

)

=

1) Для

= 1 +

2

+

+ +

+

( )

1!

2!

!

+1

+1

где

( ) =

+1

( +1)!

(

)

= sin

2) Для

3

5

7

−1

sin = −

+

−

+ + (−1)

2

+

( )

3!

5!

7!

!

+2

где

( ) =

+2

sin ( +

+ )

+2

( +2)!

2

(

)

= cos

3) Для

cos( ) = 1 −

2

+

4

−

6

+ + (−1)2

+

( )

+2

2!

4!

6!

!

где

( ) =

+2

cos ( +

+ )

+2

( +2)!

2

(

)

= ln(1 + )

4) Для

2

3

4

−1

ln(1 + ) = −

+

−

+ + (−1)

+

( )

2

3

4

+1

где

( ) =

(−1) +1

( +1)(1+ )+1

+1

36. Критерий монотонности дифференцируемой функции, нахождение участков

монотонности с помощью первой производной.

Критерий монотонности дифференцируемой функции

Монотонность – характеристика поведения функции, то есть её возрастание или убывание на определённых интервалах (определяется знаком первой производной).

Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Если ′( ) > 0, то ( ) возрастает.

Функция называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Если ′( ) < 0, то ( ) убывает.

Алгоритм исследования функции на монотонность:

1)Найти производную функции

2)Найти стационарные точки, в которых производная равна нулю, и точки, в которых производной не существует

3)Отметить эти точки на числовой прямой

4)Определить знаки производной на полученных промежутках

5)По знаку производной определить промежутки монотонности функции

37. Локальный экстремум функции. Необходимое и достаточное условия существования локального

экстремума.

Локальный экстремум

1) Локальный максимум

Функция имеет в точке локальный максимум, если найдётся такая окрестность точки, в пределах которой значение в этой точке является наибольшим среди всех значений этой функции.

2) Локальный минимум

Функция имеет в точке локальный минимум, если найдётся такая окрестность точки, в пределах которой значение в этой точке является наименьшим среди всех значений этой функции.

Необходимое условие

В точке экстремума функции её производная либо равна нулю, либо не существует.

Достаточные условие

1) Если в точке 0 функция = ( ) непрерывна, а производная при переходе через точку 0 меняет знак, то

точка 0 – точка экстремума. Если при переходе через 0 производная не меняет знак, то экстремума нет.

2) Если в точке 0 ′( ) = 0 и ′′( ) > 0, то 0 является точкой максимума; если ′( ) = 0 и ′′( ) < 0, то 0 является точкой минимума функции.

38. Асимптоты, выпуклость, точки перегиба графика функции.

Асимптоты

1) Вертикальная асимптота

Прямая = является вертикальной асимптотой графика функции = ( ), если хотя бы одно из предельных значений lim ( ) и lim ( ) равно +∞ и −∞.

	→ +0				→ −0
	Пример: =		1	имеет вертикальную асимптоту = 0, так как		lim	1	= +∞ и	lim	1	= −∞
						→0+0			→0−0

2) Наклонная (горизонтальная) асимптота

Прямая = + является наклонной асимптотой графика функции = ( ) при → +∞, если функция ( )

представима в виде ( ) = + + , где lim ( ) = 0

→+∞

Выпуклость

1)Если функция имеет на интервале конечную вторую производную и если эта производная неотрицательна всюду на этом интервале, то график функции имеет на интервале выпуклость, направленную вниз.

2)Если функция имеет на интервале конечную вторую производную и если эта производная неположительна всюду на этом интервале, то график функции имеет на интервале выпуклость, направленную вверх.

Точки перегиба функции

Точка перегиба функции – точка ( 0; ( 0)), в которой существует касательная к графику функции, при условии существования производной в окрестности точки 0, где с левой и правой стороны график функции принимает разные направления выпуклости.

39. Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Свойства. Таблица простейших интегралов.

Первообразная

Функция ( ) называется первообразной функции ( ), если в любой точке выполняется равенство ′( ) = ( )

Неопределённый интеграл

Неопределённый интеграл – совокупность всех первообразных ( ) для функции ( ), обозначается символом

∫ ( )

Свойства

1°. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции

′

(∫ ( ) ) = ( )

2°. Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению

(∫ ( ) ) = ( ) 3°. Знаки и ∫ взаимно сокращаются

∫ ( ) = ( ) + 4°. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла

∫ ( ) = ∫ ( ) 5°. Свойство суммы и разности

∫( ( ) ± ( )) = ∫ ( ) ± ∫ ( )

Таблица простейших интегралов

1)∫ 0 =

2)∫ = +

+1

3) ∫ = + 1 +

4) ∫ = ln| | +

5) ∫ = + ln

6) ∫ sin = − cos +

7) ∫ cos = sin +

8) ∫ cos2 = ∫(1 + tg2 ) = tg +

9) ∫ sin2 = ∫(1 + ctg2 ) = − ctg +

10)

∫ = +

11)

∫

=

{ arcsin +

√1 − 2

− arccos +

arctg +

12)

∫

=

{− arcctg +

1 + 2

13)

∫

= ln | + √ 2 ± 1| +

√ 2 ± 1

1

1 +

14)

∫

=

ln |

| +

1 − 2

2

1 −

15)

∫ sh = ch +

16)

∫ ch = sh +

17)

∫

= th +

2

ch

18)

∫

= − cth +

2

sh

40. Основные методы интегрирования. Замена переменного в неопределённом интеграле.

Интегрирование по частям.

Интегрирование заменой переменной

Идея состоит в том, чтобы сложное выражение заменить одной буквой.

Пример:

∫ cos 2

Заменим: 2 =

1 1 1

∫ 2 cos = 2 sin + = 2 sin 2 +

Интегрирование по частям

Формула: ∫ = − ∫

Пример:
=	→ = (ln )′ =
=	→ = ∫ =

∫ ln = ln − ∫ = ln − +

41. Интегрирование рациональных дробей.

Рациональная дробь – дробь вида ( ), где ( ) и ( ) – некоторые многочлены.

( )

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена числителя ниже степени многочлена знаменателя; в ином слуае дробь называется неправильной.

Интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию простейших дробей следующих четырех типов:

) −

) ( − )

)

+

( 2 + + )

)

+

( 2 + + )

где = 2, 3, … ; = 2, 3 … ; , , , , , − некоторые вещественные числа

Пример:

3

(2 − )

∫

= −3 ∫

= −3 ln|2 − | +

2 −

2 −

42. Интегралы от дифференциального бинома.

Интеграл вида ∫

(

)

, где

, – действительные числа, , , – рациональные числа, можно

+

привести к интегрированию рациональных функций в следующих случаях:

1) если целое число, то замена = , где – общий знаменатель и

2) если

+1

целое число, то замена + = , где – знаменатель

3) если

+1

+ целое число, то замена − + = , где – знаменатель

Во всех остальных случаях интегралы типа

∫

(

+

)

не выражаются через известные элементарные

функции, то есть “не берутся”.

Пример:

1

3√4√

+ 1

1

1

3

∫

= ∫ −2 (1 + 4)

√

1

1

1

+1

следовательно, = −

, =

, =

,

= 2

2

4

3

делаем подстановку:

+ 1 = 3; = ( 3 − 1)4; = 4( 3 − 1)3 3 2 ; = 3√

4√

4√

+ 1

получаем:

7

4

12

7

4

2(

3

)3

6

3

4

3

4

3

∫

(

3

2

12

− 1

= 12 ∫(

−

) = 12

7

− 12

4

+ =

7

(√ + 1)

− 3 (√ + 1)

+

− 1)

43. Интегрирование некоторых иррациональных выражений.

Основным методом интегрирования функций, содержащих радикалы, является отыскание такой замены переменной, которая приводит к интегралу от рациональной функции. Если такая замена определена, то интегрирование сводится к вычислению интеграла от рациональной функции.

В простейшем случае подынтегральная функция рационально выражается через независимую переменную и некоторое количество радикалов от одной и той же дробно-линейной функции (так называется отношение двух

линейных функций):
					, … )
= ∫ ( , √ +			, √ +
		+		+

Если обозначить через наименьшее общее кратное показателей корней от дробxно-линейной функции = НОК( , , … ), то в этом случае все радикалы будут степенями функции:

+= √

+

Выражая отсюда , получаем:

−

= −

Отсюда следует, что замена на приводит к интегралу от рациональной функции.

Пример:

∫

1

+ √

Делая замену = √

( = 2, = 2 ), получаем:

1

|

|

∫

= 2 ∫ 1 + = 2 ∫ (1 −

+ = 2√ − 2 ln(1 + √ ) +

1

+ √

1 + ) = 2 − 2 ln

1 +

44. Интегрирование тригонометрических выражений. Тригонометрические подстановки.

	Для интегрирования рациональных функций вида (sin , cos ) применяют подстановку = tg								, которая
								2
	называется универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда:
		2		2		1 − 2
	= 2 arctg , =		, sin =		, cos =
		1 + 2		1 + 2		1 + 2

Универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к большим вычислениям, поэтому, по возможности, пользуются следующими подстановками:

1)Если (− sin , cos ) = − (sin , cos ), то делают замену cos = , тогда sin = −

2)Если (sin , − cos ) = − (sin , cos ), то делают замену sin = , тогда cos =

3)Если (− sin , − cos ) = (sin , cos ), то делают замену tg = , при которой = arctg , =

1+ 2 , sin = √1+ 2 , cos = √1+1 2; или замену ctg = , если это удобнее.