Неопределенный интеграл
Лекция 8
Элементы интегрального
исчисления
1.Первообразная и неопределенный интеграл
2.Основные приемы вычисления неопределенных интегралов
3.Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен
4.Интегрирование дробно-рациональных функций
5.Интегрирование тригонометрических функций
6.Интегрирование некоторых иррациональностей
Неопределенный интеграл,
его свойства и вычисление
Первообразная и неопределенный интеграл
Определение. Функция |
F x называется |
|
|||
первообразной функции |
f x , определенной на |
||||
|
|
|
|
f x |
для |
некотором промежутке, если F x |
|||||
каждого |
x |
из этого промежутка. |
|
|
|
|
|
|
|||
Например, функция cos x является |
|
|
|||
первообразной функции |
|
|
sin x . |
cos x |
|
sin
x
, так как
Первообразная и неопределенный интеграл
Очевидно функции
, f
если F
x , то
x - F x
первообразнаяC , где C -
некоторая постоянная, также является первообразной функции f x .
Если F x есть какая-либо первообразная функции f x , то всякая функция вида Ф x F x C также является первообразной функции f x и всякая первообразная представима в таком виде.
Первообразная и неопределенный интеграл
Определение. Совокупность всех |
|
|
первообразных функции f x , |
|
|
определенных на некотором |
|
|
промежутке, называется |
|
|
неопределенным интегралом от |
|
|
функции f x |
на этом промежутке и |
|
обозначается |
f x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
Первообразная и неопределенный интеграл
Если F x - некоторая первообразная функции f x , то пишут f x dx F x C , хотя правильнее бы писать f x dx F x C . Мы по устоявшейся традиции будем писать
f x dx F x C .
Тем самым один и тот же символf x dx будет обозначать как всю
совокупность первообразных функции так и любой элемент этого множества.
f x ,
Свойства интеграла, вытекающие из определения
Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциалподынтегральному выражению. Действительно:
1.( f (x)dx) (F (x) C) F (x) f (x); 2.d f (x)dx ( f (x)dx) dx f (x)dx.
Свойства интеграла, вытекающие из определения
Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до
постоянной:
3. |
|
d(x) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
так как |
(x) |
||||
для (x).
(x)dx (x) C,
является первообразной
Свойства интеграла
Сформулируем далее следующие свойства |
|
||||||||||
неопределенного интеграла: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4.Если функции f |
1 |
x и f |
2 |
x |
имеют |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x f |
|
x |
|
||
первообразные, то функция |
f |
1 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
также имеет первообразную, |
причем |
|
|
||||||||
f1 x f 2 x dx |
f1 x dx f 2 |
x dx ; |
|
|
|
||||||
5. Kf x dx K f x dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx f x C ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. f |
x x dx F x C . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|