Лекция 4. Предел функции
4-1 Предел функции 4-2 Бесконечно малые и бесконечно большие 4-3 Теоремы о пределах
23 сентября 2007 г.
Эпиграф
Я знаю, что это такое, только
до той поры, пока меня не
спросят – что это такое!
Блаженный
Августин
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
2
4-1.
Предел функции
Предел функции в бесконечности Предел функции в точке
Геометрический смысл
Предел функции в бесконечности
Число А называется пределом функции y = f (x) при x
стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного ε > 0, найдется такое число M
(зависящее от ε), что для всех x таких, что |x|>M, выполнено неравенство: | f (x) – A|< ε.
|
A = lim f (x) |
|
ε > 0 M = M (ε) x: |
|
x |
|
> M: |
|
f (x) − A |
|
< ε |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
4
Предел функции в точке
Число А называется пределом функции y = f (x) при x → a,
если функция определена в некоторой окрестности точки a,
(кроме, может быть, самой точки a) и для любого, даже сколь угодно малого положительного ε > 0, найдется такое число δ > 0
(зависящее от ε), что для всех x из δ-окрестности точки a,
выполнено неравенство: | f (x) – A|< ε.
|
|
|
|
( |
ε > 0 δ(ε) > 0: 0 < |
|
x −a |
|
<δ |
|
|
f (x) − A |
|
< ε |
) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
A = lim f (x) |
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
5
Коши Огюстен Луи
Коши Огюстен Луи (1789–1857),
французский математик. Работал
в Шербуре инженером,
преподавал в Политехнической
школе, Сорбонне и Коллеж де
Франс.
Работы Коши посвящены арифметике, теории чисел, алгебре, математическому
анализу, дифференциальным уравнениям, механике, математической физике. Коши впервые дал четкое определение пределу, непрерывности функции, сходимости ряда и т.д.
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
6
Геометрический смысл
Число А есть предел функции y = f (x) в точке a.
Из того, что x окажется в δ-окрестности точки a, будет
следовать, что значение функции окажется в ε-окрестности
точки A.
y |
y=f (x) |
lim f (x) = A |
A+ε |
|
x→a |
A |
|
a −δ < x < a +δ |
|
A–ε |
|
A −ε < f (x) < A +ε |
|
0 |
a a+δ x |
||
|
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
7
Замечания
1.Для существования предела при x → a значение функции в
самой точке a неважно. Функция может даже не принимать
никакого значения, а ее предел в этой точке существует.
2.Можно определить также односторонние пределы: предел справа и предел слева.
Такая функция имеет предел в точке x=0
0
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
8
4-2.
Бесконечно малые и бесконечно большие величины
Определение и свойства Связь между бесконечно малыми и
бесконечно большими
Бесконечно малая величина
Функция α(x) называется бесконечно малой величиной при x
→ a (или при x → ∞), если ее предел равен нулю:
|
|
limα(x) = 0 |
||||||||
|
|
x→a |
||||||||
|
|
( ε > 0 δ(ε) > 0: 0 < |
|
|
|
|
|
|
|
< ε) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
limx→a |
α(x) = 0 |
|
x −a |
|
<δ |
|
α(x) |
|
||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
10