Приложение 1
Формулы элементарной математики
1. Тождества сокращенного умножения
a 2 b2 |
a b a b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- разность квадратов |
||||
a3 b3 |
a b a 2 |
ab b2 |
- сумма квадратов |
|||||||||||||
a3 b3 |
a b a 2 |
ab b2 |
- разность кубов |
|||||||||||||
a b 2 |
a 2 |
2ab b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- квадрат двучлена |
|||
a b 3 |
a3 |
3a 2b 3ab2 |
b3 |
- кубдвучлена |
||||||||||||
2. Квадратное уравнение ax2+bx+c=0, a ≠ 0 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
D b2 4ac 0, x |
|
b D ; |
||||||||||||||
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
2a |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
D b2 4ac 0, x x |
|
|
b |
; |
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2a |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
D b2 |
4ac 0, вещественных решений нет |
|||||||||||||||
Теорема Виета: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x |
|
x |
|
|
b |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
a |
|
|||
Если D ≥ 0, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
a |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. Разложение квадратного трехчлена на множители
Если D=b2-4ac ≥ 0, то ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
4. Степени
;
a1 a;
a 0 1, a 0;
a n |
1 |
, a 0, n N; |
|
a n |
|||
|
|
||
m |
|
|
a n n
a m , a 0, m Z , n N.
Свойства степеней:
am an am n ;
am : an am n ;
(am )n
(ab)n
a nb
amn ;
anbn ;
a n , b 0. bn
5. Логарифмы и их свойства
alogba b, a 0, a 1,b 0;
log c (ab) log c a log c b, a 0, c 0, b 0, c 1;
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
log c |
|
|
|
log c |
|
a log c b, a 0, c |
0,b 0, c |
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
logc ak k logc |
a, a 0, c 0, c 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
log c n |
|
|
|
1 |
log c a, a 0, c 0,b 0, c 1, n N; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
log c b |
log c |
b |
|
, a 0, c |
0,b 0, a 1, c 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
log c |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. Тригонометрия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
а) Знаки тригонометрических функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Четверть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinα |
|
|
|
cosα |
|
|
|
tgα |
|
ctgα |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
- |
|
|
- |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IV |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
- |
|
|
- |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
б) Значения тригонометрических функций при некоторых значениях |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
аргумента. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аргумент |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Функция |
|
|
|
0 |
|
6 |
|
4 |
3 |
2 |
|
|
|
3 2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0о) |
|
(30о) |
|
(45о) |
(60о) |
(90о) |
|
(180о) |
(270о) |
|
(360о) |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
sinα |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
0 |
-1 |
|
0 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cosα |
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
-1 |
0 |
|
1 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
tgα |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
0 |
- |
|
0 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ctgα |
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
- |
0 |
|
- |
|
||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) Формулы приведения.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аргумент |
|
|
|
|
|
Функция |
|
|
2 -α |
|
2 +α |
- α |
+α |
3 2 -α |
3 2 |
2 -α |
2 +α |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+α |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinα |
|
|
cosα |
|
cosα |
|
sinα |
-sinα |
-cosα |
-cosα |
-sinα |
sinα |
|
|||||||||
cosα |
|
|
sinα |
|
-sinα |
|
-cosα |
-cosα |
-sinα |
sinα |
cosα |
cosα |
|
|||||||||
tgα |
|
|
ctgα |
|
-ctgα |
|
-tgα |
tgα |
ctgα |
-ctgα |
-tgα |
tgα |
|
|||||||||
ctgα |
|
|
tgα |
|
-tgα |
|
-ctgα |
ctgα |
tgα |
-tgα |
-ctgα |
ctgα |
|
|||||||||
г) Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же |
||||||||||||||||||||||
аргумента. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
tgα= |
sin |
, |
n, n Z; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
cos |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
сtga= |
cos |
, n, n Z; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
sin 2 cos2 1, R; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
tg ctg 1, |
n |
, n Z; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 tg 2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
, |
2 n, n |
Z; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
cos 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 ctg 2 |
|
1 |
|
|
, n, n Z . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
sin |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
д) Формулы сложения для тригонометрических функций.
sin( ) sin cos cos sin ;
sin( ) sin cos cos sin ;
cos( ) cos cos sin sin ;
cos( ) cos cos sin sin ;
tg ( ) |
|
|
tg tg |
|
, |
|
n, |
|
n, ( ) |
|
n, n Z; |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 tg tg |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
||||
tg ( ) |
|
|
tg tg |
|
, |
|
n, |
|
n, ( ) |
|
n, n Z; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
tg tg |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|||
ctg ( ) |
ctg tcg 1 |
|
, n, n, ( ) n, n Z; |
|||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
ctg ctg |
|
|
|
|
|
|
|
|||
ctg ( ) |
ctg tcg 1 |
, n, n, ( ) n, n Z . |
||||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
ctg ctg |
|
|
|
|
|
|
|
|||
е) Тригонометрические функции двойного и тройного аргумента.
sin 2 2sin cos ; cos 2 cos 2 sin 2 ;
tg 2 |
|
|
2tg |
, |
|
n |
, |
|
n, n Z; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
tg 2 |
4 |
2 |
|
2 |
|
||||||||
ctg 2 |
ctg 2 1 |
, |
n |
, n Z; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2ctg |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
sin 3 3sin 4sin3 ; |
|
|
|
|
||||||||||
cos 4cos3 3cos ; |
|
|
|
|
||||||||||
tg3 |
3tg tg 3 |
, |
(2n 1), n Z; |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 3tg 2 |
|
|
6 |
|
|
|
||||
ctg 3 |
3ctg ctg 3 |
|
, |
n , n Z . |
||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
1 3ctg 2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|||
ж) Формулы половинного аргумента.
sin |
2 |
|
|
1 cos |
; |
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
cos |
2 |
|
|
1 cos |
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
tg |
2 |
|
|
|
1 cos |
, (2n 1), n Z; |
|||||||||||||
|
|
2 |
1 cos |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ctg |
|
2 |
|
|
1 cos |
|
, |
2 n, n Z; |
|||||||||||
|
2 |
|
1 cos |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
tg |
|
|
|
sin |
|
1 cos |
, n, n Z; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
1 cos |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
||||||
ctg |
|
|
|
1 cos |
|
|
sin |
|
, n, n Z . |
||||||||||
|
2 |
|
|
|
sin |
|
1 cos |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
з) Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение.
sin sin 2sin |
|
cos |
|
; |
|||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
sin sin 2 cos |
|
|
sin |
|
; |
||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
cos cos 2 cos |
|
cos |
; |
||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
cos cos 2sin sin ; |
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
tg tg |
sin( ) |
, |
|
(2n 1), |
|
(2n 1), n Z; |
||
cos cos |
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
||||
tg tg |
|
sin( ) |
, |
|
(2n 1), |
|
(2n 1), n Z; |
|
|
cos cos |
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
||||
ctg ctg sin( ) , n, n, n Z; sin sin
ctg ctg sin( ) , n, n, n Z; sin sin
1 cos 2 cos 2 2 ; 1 cos 2sin 2 2 .
и) Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в
сумму.
sin sin 12 (cos( ) cos( ));
cos cos 12 (cos( ) cos( ));
sin cos 12 (sin( ) sin( )) .
к) Простейшие тригонометрические уравнения.
Уравн |
Формула |
Частные случаи |
|
|
|
|
|
|
|
Примечание |
|||
ение |
решения |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
sin x 0, если x n |
|
|
arcsin( a) arcsin a |
||||||||
sinx=a |
x ( 1)n arcsin a n |
sin x 1, если |
x 2 2 n |
|
|||||||||
|
|
a |
|
1, n Z |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
sin x 1, если |
x |
2 |
2 n |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
cos x 0, если x |
2 n |
arccos( a) arccos a |
|||||||||
cosx=a |
|
|
|
|
|
||||||||
x arccos a 2 n |
cos x 1, если x |
2 n |
|
|
a |
|
1, n Z |
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
cos x 1, если x 2 n |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
tgx=a |
x arctga n |
tgx 0, если x n |
|
|
|
|
|
arctg ( a) arctga |
|||||
|
|
|
|
|
a R, n Z |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ctgx=a |
x arcctga n |
ctgx 0, если x |
2 n |
arcctg ( a) arcctga |
|||||||||
a R, n Z |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||